Algebraische Struktur

Definition nach Brockhaus (1986 A-Apt) und Gellert, Kästner (1979)

Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt algebraische Struktur (kurz Algebra), wenn:

• $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
• $ o_1, ..., o_m\,\,\,(m \in \mathbb{N}) $ sind endlich viele algebraische Operationen bzgl. $ A\, $

Algebraische Struktur mit partiellen Operationen: Definition nach Kowarschick

Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt algebraische Struktur mit partiellen Operationen, wenn:

• $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
• $ o_1, ..., o_m\,\,\,(m \in \mathbb{N}) $ sind endlich viele, teilweise partielle algebraische Strukturen bzgl. $ A\, $

Bemerkungen

Gellert, Kästner (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können. Dies erfolgt hier explizit in der zweiten Definition (nach Kowarschick).

Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.

Die wesentliche Eigenschaft einer algebraischen Operation ist die Abgeschlossenheit: Jede algebraische Operation $ o_i\, $ einer algebraischen Struktur $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge $ A\, $ von $ \mathcal{A}\, $ wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.

Beispiele

• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur mit einer partiellen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $: Die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation.

Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen

• Halbgruppe
  • Monoid
    • Gruppe
      • Abelsche Gruppe = Kommunikative Gruppe
• Halbring
  • Ring
    • Kommutativer Ring
      • Körper
• Verband
  • Modularer Verband
    • Distributiver Verband
      • Komplementärer Distributiver Verband = Boolesche Algebra
        • Boolesche σ-Algebra
      • Ereignisalgebra = Mengenalgebra
        • σ-Algebra
• Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
  • Vektorraum
• Relationale Algebra

Quellen

• Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik
• Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-Apt)

Dieser Artikel ist GlossarWiki-konform.