Beta-Verteilung: Unterschied zwischen den Versionen

aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
zur nächsten Versionen-Differenz →
Kowa (Diskussion | Beiträge)
Administrator, Bots, Bürokraten, emailconfirmed, Oberflächenadministratoren, interwiki, oversight, SMW-Administratoren, SMW-Kuratoren, SMW-Editoren, Oversighter, Administratoren
42.989 Bearbeitungen
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Kowa (Diskussion | Beiträge)
Administrator, Bots, Bürokraten, emailconfirmed, Oberflächenadministratoren, interwiki, oversight, SMW-Administratoren, SMW-Kuratoren, SMW-Editoren, Oversighter, Administratoren
42.989 Bearbeitungen
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Zeile 18: Zeile 18:
                 f_X(x) :=
                 f_X(x) :=
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
                     \frac{2(x-a)}{d(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2},    & \mbox{wenn } a \le x \le c \\
                     \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\  
                    \frac{2(b-x)}{d(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\
                     0                         & \mbox{sonst }
                     0,                        & \mbox{sonst }
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>|
Zeile 30: Zeile 29:
   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>|
   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>|
   proof_support =|
   proof_support =|
   cdf        =<math>
   cdf        =|
              F_X(x) =
                  \begin{cases}
                    0,                                                    & \mbox{wenn } x < a\\
                    0+\frac{(x-a)^2}{d(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2},    & \mbox{wenn } a \le x \le c \\
                    1-\frac{(b-x)^2}{d(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\
                    1,                                                    & \mbox{wenn } b < x
                  \end{cases}               
              </math>|
   proof_cdf =|
   proof_cdf =|


   mode      =<math>c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}</math><br>
   mode      =<math>c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}</math><br>
<math>\operatorname{md}_X = \{c\},\,f_X(c)= \mbox{?}\!</math>|
<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1\!</math>|
   proof_mode =|
   proof_mode =|


   mean      =<math>\mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3}</math>|
   mean      =<math>\mu(X) = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta}</math>|
   proof_mean =|
   proof_mean =|


   quartile  = <math>
   quartile  =|
                F_X^{-1}(p) =
                  \begin{cases}
                    a+d\sqrt{mp},        & \mbox{wenn } 0 \le p \le m \\
                    b-d\sqrt{(1-m)(1-p)}, & \mbox{wenn } m < p \le 1
                  \end{cases}               
              </math>|
   proof_quartile =|
   proof_quartile =|


   median     =<math>
   median       =|
                F_X^{-1}(0,5) =
                  \begin{cases}
                    a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2},    & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} \le c\\
                    b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2}, & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2}
                  \end{cases}               
              </math>|
   proof_median =|
   proof_median =|


   variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18}</math>|
   variance  =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math>|
   proof_variance =|
   proof_variance =|


   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{d}{6} \sqrt{2(1-m+m^2)}</math>|
   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}</math>|
   proof_sigma =|
   proof_sigma =|


Version vom 30. Mai 2006, 09:47 Uhr

Vorlage:InBearbeitung

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt $ \beta $-verteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:


Parameter
$ \alpha \in ]0,\infty[ $
$ \beta \in ]0,\infty[ $
$ a \in ]-\infty,\infty[ $
$ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $

$ d := b-a\! $
Dichtefunktion
$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit
$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $
Träger
$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Modus
$ c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} $
$ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1\! $
Erwartungswert
$ \mu(X) = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta} $
Varianz
$ \operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $
Standardabweichung
$ \sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}} $

Quellen

Abgerufen von „https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Beta-Verteilung&oldid=1526“