Version vom 1. Juni 2006, 18:50 Uhr

Definition

Eine stetige Zufallsgröße $$ X $$ heißt beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch eine Dichtefunktion $$ f_X $$ , wie sie der nachfolgenden Tabelle definiert wird, beschrieben werden kann.

Parameter	$\alpha \in ]0,\infty[$ $\beta \in ]0,\infty[$ $a \in ]-\infty,\infty[$ $b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a$ $d := b-a\!$
Dichtefunktion	$f_X(x) := \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}$
Stetigkeit	$f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!$
Träger	$f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!$
Modus	$c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}$ $\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\!$
Erwartungswert	$\mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta}$
Varianz	$\operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$
Standardabweichung	$\sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}}$

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    mode       =<math>c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2}</math><br>
-<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 und \alpha\beta > 1\!</math>|
+<math>\operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\!</math>|
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