Beta-Verteilung

Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X $ heißt beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)= \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. $ \Beta(\alpha,\beta)\! $ ist dabei die Beta-Funktion.

$ \alpha\,\beta,\,a $ und $ b\, $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße

Parameter	$ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $ $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ d := b-a\! $
Dichtefunktion	$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Modus	$ c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2} $ $ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\! $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta} $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}} $

Die Dichtefunktionen der hier definierten allgemeinen Beta-Verteilungen, können durch einfache Linear-Transformationen aus den Dichtefunktionen der normalisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{d}\right) $

Beweis

$ \mbox{Es sei } a \le x \le b{.} $


$ \mbox{Dann gilt: }\! $

$  \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = $

$  \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}-0\right)^{\alpha -1}(1-\frac{x-a}{b-a})^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)1^{\alpha+\beta-1}} = $

$  \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)} = $

$  \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{(b-a)^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)} = $

$  \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}} = $

$  f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)\! $

Quellen

• Formelsammlung zur Vorlesung Standardmethoden des Operations Research, Roland Schuhr, 2005
• Wikipedia (en): Beta distribution
• Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung