Algebraische Struktur

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Definition

Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt algebraische Struktur (genauer: algebraische Struktur ohne partielle Operationen, kurz Algebra), wenn:

• $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
• Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine algebraische Operation, d.h. eine Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.

Bemerkungen

Die wesentliche Eigenschaft einer algebraischen Operation ist die Abgeschlossenheit: Jede algebraische Operation $ o_i\, $ einer algebraischen Struktur $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge $ A\, $ von $ \mathcal{A}\, $ wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.

Gellert, Kästner (1979) merken an, dass bei der Definition des Begriffs algebraische Struktur partielle algebraische Operationen zugelassen sein können. Dafür gibt es in diesem Wiki eine eigenständige Definition: Algebraische Struktur mit partiellen Operationen, bei der folgendes gefordert wird:

Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) algebraische Operation $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.

Beispiele

• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation keine algebraische Struktur, sondern nur eine algebraische Struktur mit einer partiellen Operation: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $, da die Subtraktion ist lediglich eine partielle algebraische Operation ist.

Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen

• Halbgruppe
  • Monoid
    • Gruppe
      • Abelsche Gruppe = Kommunikative Gruppe
• Halbring
  • Ring
    • Kommutativer Ring
      • Körper
• Verband
  • Modularer Verband
    • Distributiver Verband
      • Komplementärer Distributiver Verband = Boolesche Algebra
        • Boolesche σ-Algebra
      • Ereignisalgebra = Mengenalgebra
        • σ-Algebra
• Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
  • Vektorraum
• Relationale Algebra

Quellen

1. Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik
2. Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-APT)

Siehe auch

• Algebraische Struktur mit partiellen Operationen