Verkettung von Funktionen

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Voraussetzung

Es seien $ f\! $ und $ g\! $ zwei Funktionen mit den Definitionsbereichen $ D(f)\! $ und $ D(g)\! $ und den Wertebereichen $ W(f)\! $ und $ W(g)\! $.

Es sei überdies die Wertemenge $ f\! $ eine Teilmenge der Definitionsmenge von $ g\! $: $ W(f) \subseteq D(g)\! $.

Definition

Die Verkettung $ g \circ f\! $ der Funktionen $ f\! $ und $ g\! $ ist diejenige Funktion, die sich durch die Hintereinanderausführung von $ f\! $ und $ g\! $ ergibt:

$ \forall x \in D(f): g \circ f(x) := g(f(x))\! $.

Eigenschaften

Unter den gegebenen Voraussetzungen ist $ g \circ f\! $ stets eine Funktion.

Der Definitionsbereich $ D(g \circ f)\! $ der Verkettung ist gleich dem Definitionsbereich $ D(f)\! $ der Funktion $ f\! $: $ D(g \circ f) = D(f)\! $ .

Der Wertebereich $ W(g \circ f)\! $ der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs $ W(g)\! $ der Funktion $ g\! $: $ W(g \circ f) = \{g(f(x))\ |\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)\! $.