Verkettung von Funktionen

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Voraussetzung

Es seien $ f $ und $ g $ zwei Funktionen mit den Definitionsbereichen $ D(f) $ und $ D(g) $ und den Wertebereichen $ W(f) $ und $ W(g) $.

Es sei überdies die Wertemenge $ f $ eine Teilmenge der Definitionsmenge von $ g $: $ W(f) \subseteq D(g) $.

Definition

Die Verkettung $ g \circ f $ der Funktionen $ f $ und $ g $ ist diejenige Funktion, die sich durch die Hintereinanderausführung von $ f\! $ und $ g\! $ ergibt:

$ \forall x \in D(f): g \circ f(x) := g(f(x)) $

Eigenschaften

Unter den gegebenen Voraussetzungen ist $ g \circ f $ stets eine Funktion.

Der Definitionsbereich $ D(g \circ f) $ der Verkettung ist gleich dem Definitionsbereich $ D(f) $ der Funktion $ f $: $ D(g \circ f) = D(f) $.

Der Wertebereich $ W(g \circ f) $ der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs $ W(g) $ der Funktion $ g $: $ W(g \circ f) = \{g(f(x))\ |\ x \in D(f)\} \subseteq D(g) $.

Beweis

fehlt noch

Quellen

1. Gellert, Kästner, Neuber (1979): Lexikon der Mathematik; Hrsg.: Walter Gellert, Herbert Kästner und Siegfried Neuber; Auflage: 2; Verlag: VEB Bibliographisches Institut Leipzig; Adresse: Leipzig; 1979; Quellengüte: 5 (Buch)
2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)