Beta-Verteilung
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt $ \beta $-verteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:
| Parameter | $ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $ $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ d := b-a\! $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $ |
| Modus | $ c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} $ $ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}} $ |
