Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Voraussetzung
Es seien $ a,b \in \mathbb{R}\! $ zwei relle Zahlen mit $ a < b\! $ (d.h. $ a\! $ und $ b\! $ definieren ein endliches Intervall) sowie $ c, x \in \mathbb{R}\! $.
Satz
- $ a \le x \le b \ \Leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1 $
- $ x \in\, [a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1] $
- $ x \in\,\, ]a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1] $
- $ x \in\, [a,b[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[ $
- $ x \in\,\, ]a,b[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[ $
- $ x \in\, [a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1] $
- $ x < a \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0 $
- $ x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[ $
- $ x \in\, ]-\infty,a] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0] $
- $ x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[ $
- $ b < x \ \Leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a} $
- $ x \in\,\, ]b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty,[ $
- $ x \in\, [b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty,[ $
- $ x \in\,\, ]b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty,[ $
- $ x < c \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a} $
- $ c < x \ \Leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a} $
Beweis der ersten Aussage
| $ a \le x \le b $ | $ |\quad -a\! $ | |
| $ \Leftrightarrow $ | $ 0 \le x-a \le b-a $ | $ |\quad /(b-a)\! $ |
| $ \Leftrightarrow $ | $ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ | (da $ b-a > 0\! $) |
Die restlichen Aussagen beweist man analog.
Quellen
- Autor des Beweises: W. Kowarschick
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