Verkettung von Funktionen
Voraussetzung
Es seien $ f\! $ und $ g\! $ zwei Funktionen mit den Definitionsbereichen $ D(f)\! $ und $ D(g)\! $ und den Wertebereichen $ W(f)\! $ und $ W(g)\! $.
Es sei überdies die Wertemenge $ f\! $ eine Teilmenge der Definitionsmenge von $ g\! $: $ W(f) \subseteq D(g)\! $.
Definition
Die Verkettung $ g \circ f\! $ der Funktionen $ f\! $ und $ g\! $ ist diejenige Funktion, die sich durch die Hintereinanderausführung von $ f\! $ und $ g\! $ ergibt:
$ \forall x \in D(f): g \circ f(x) := g(f(x))\! $.
Eigenschaften
Unter den gegebenen Voraussetzungen ist $ g \circ f\! $ stets eine Funktion.
Der Definitionsbereich $ D(g \circ f)\! $ der Verkettung ist gleich dem Definitionsbereich $ D(f)\! $ der Funktion $ f\! $: $ D(g \circ f) = D(f)\! $ .
Der Wertebereich $ W(g \circ f)\! $ der Verkettung ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des Wertebereichs $ W(g)\! $ der Funktion $ g\! $: $ W(g \circ f) = \{g(f(x))\ |\ x \in D(f)\} \subseteq D(g)\! $.
Beweis
fehlt noch
