Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Voraussetzung
Es seien $ a,b \in \mathbb{R}\! $ zwei relle Zahlen mit $ a < b\! $. Überdies sei $ d := b -a > 0 \! $ die Länge des Intervalls $ [a,b]\! $.
Satz
Die Bedingung $ a \le x \le b $ ist gleichwertig zu $ 0 \le \frac{x-a}{d} \le 1 $, das heißt, $ x \in\, [a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{d} \in\, [0,1] $.
Die Bedingung $ x < a\! $ ist gleichwertig zu $ \frac{x-a}{d} < 0 $.
Die Bedingung $ b < x\! $ ist gleichwertig zu $ 1 < \frac{x-a}{d} $.
Beweis
| $ a \le x \le b $ | $ |\quad -a\! $ | |
| $ \Leftrightarrow $ | $ 0 \le x-a \le b-a $ | $ |\quad /d\! $ |
| $ \Leftrightarrow $ | $ 0 \le \frac{x-a}{d} \le 1 $ | (da $ a < b\! $, d.h. $ b-a = d > 0\! $) |
Die restlichen Aussagen beweist man analog.
