Algebraische Struktur

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Definition

Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt algebraische Struktur (kurz Algebra), wenn:

• $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
• $ o_1, ..., o_m\,\,\,(m \in \mathbb{N} $) sind endlich viele (evtl. partielle) algebraische Operationen bzgl. $ A\, $, d.h. für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $

Beispiele

• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $. Dabei ist die Subtraktion lediglich eine partielle algebraische Operation.

Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen

• • Halbgruppe
    • Monoid
      • Gruppe
        • Abelsche Gruppe = Kommunikative Gruppe
  • Halbring
    • Dioid
      • Ring
        • Kommutativer Ring
          • Körper
  • Verband
    • Modularer Verband
      • Distributiver Verband
        • Komplementärer Distributiver Verband = Boolesche Algebra
          • Boolesche σ-Algebra
        • Ereignisalgebra = Mengenalgebra
          • σ-Algebra
  • Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
    • Vektorraum
  • Relationale Algebra

Quellen

• Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik