Algebraische Struktur
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Definition nach Brockhaus (1986 A-Apt) und Gellert, Kästner (1979)
Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt algebraische Struktur (kurz Algebra), wenn:
- $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
- $ o_1, ..., o_m\,\,\,(m \in \mathbb{N} $) sind endlich viele algebraische Operationen bzgl. $ A\, $
Algebraische Struktur mit partiellen Operationen: Definition nach Kowarschick
Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt algebraische Struktur (kurz Algebra), wenn:
- $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
- $ o_1, ..., o_m\,\,\,(m \in \mathbb{N} $) sind endlich viele, teilweise partielle algebraische Strukturen bzgl. $ A\, $
Bemerkungen
Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.
Die wesentliche Eigenschaft einer algebraischen Operation ist die Abgeschlossenheit: Jede algebraische Operation $ o_i\, $ einer algebraischen Struktur $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge $ A\, $ von $ \mathcal{A}\, $ wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.
Beispiele
- Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
- Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $. Dabei ist die Subtraktion lediglich eine partielle algebraische Operation.
Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen
- Halbgruppe
- Halbring
- Verband
- Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
- Relationale Algebra
Quellen
- Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik
- Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-Apt)
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