Dreiecksverteilung
Definition
Eine stetige Zufallsgröße $ X $ heißt dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
beschrieben werden kann.
$ a, b\, $ und $ c\, $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
Eigenschaften einer dreiecksverteilten Zufallsgröße
{Wahrscheinlichkeitsverteilung
| name =Dreiecksverteilung
| type =Dichte
| pdf_image =
| cdf_image =
| parameters =$ a \in ]-\infty,\infty[ $
$ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $
$ c \in ]a,b[ $
$ d := b-a\! $
$ m := \frac{c-a}{d} \in ]0,1[,\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d $
$ m $ beschreibt den prozentualen Abstand von $ c $ zu $ a $ bzgl. $ b $
$ 1-m $ beschreibt den prozentualen Abstand von $ c $ zu $ b $ bzgl. $ a $
| annotations_parameters = (vgl. Parameter der
standardisierten
Dreiecksverteilung)
| pdf =$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{d(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{d(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $ | continuity = $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $ | support =$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $ | cdf =$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{d(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{d(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1 & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $ | mode =$ \operatorname{md}_X = \{c\} = \{a+md\},\,f_X(c)=\frac{2}{d}\! $ | mean =$ \mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3} $ | quantile = $ F_X^{-1}(p) = \begin{cases} a+d\sqrt{mp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le m \\ b-d\sqrt{(1-m)(1-p)} & \mbox{wenn } m < p \le 1 \end{cases} $ | median =$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 < m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} < c\\ a+\frac{d}{2} = b-\frac{d}{2} & \mbox{wenn } m = 0{,}5 \mbox{ bzw. } c = \frac{b+a}{2}\\ b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} $| | variance =$ \operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18} $ | sigma =$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{d}{6} \sqrt{2(1-m+m^2)} $ }}
Quellen
- Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik
- Wikipedia (en): Triangular distribution
- Statwiki HU Berlin: Dreiecksverteilung
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