Standard-Dreiecksverteilung

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X = D(c) := D(0,1,c)\, $, wobei $ D(a,b,c)\, $ die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann.

$ c \in ]0,1[ $ heißt Parameter der Verteilung $ D(c)\, $.

$ D(c)\, $ wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.

Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung

Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung)	$ c \,\in\, ]0,1[ $ $ a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c $
Dichtefunktion	$ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \! $
Verteilungsfunktion	$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $
Modus	$ \operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\! $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \frac{1+c}{3} $
p-Quantil	$ F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c < p \le 1 \end{cases} $
Median	$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5 \end{cases} $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18} $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)} $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung hat eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{D(a,b,c)}\! $. Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:

$ f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x) $

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:

$ f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)