Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)

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1 Satz

Es seien [math]a \in ]-\infty,\infty[[/math], [math]b \in ]a,\infty[[/math] (d.h. [math]b \gt a[/math]) und [math]c \in ]a,b[[/math].

Die Dichtefunktionen [math]f_{D(a,b,c)}[/math] und [math]f_{D((c-a)/d)} = f_{D((c-a)/(b-a))}[/math] seien wie in Dreiecksverteilung bzw. Standard-Dreiecksverteilung beschrieben definiert.

Aufgrund dieer obigen Voraussetzungen erfüllen die Parameter [math]a,b,c[/math] die in der Definition der Dreiecksverteilung genannten Voraussetzungen.

Ebenso erfüllt [math]\frac{c-a}{b-a}[/math] die in der Definition der Standard-Dreickesverteilung geforderte Bedingung [math]\frac{c-a}{b-a} \in ]0,1[[/math], da [math]c-a\gt 0[/math], [math]b-a\gt 0[/math] und [math]c-a\lt b-a[/math].

Die Dichtefunktionen der Dreiecksverteilungen können mit Hilfe zweier affiner Transformationen [math]t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a}[/math] und [math]t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x[/math] aus den Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilung erzeugt werden (vgl. Verkettung von Funktionen):

[math] f_{D(a,b,c)}(x) = t_2 \circ f_{D(a,b,c)} \circ t_1(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) [/math]

2 Korrolar

Für die zugehörigen Verteilungsfunktionen folgt aus dem obigen Satz:

[math] F_{D(a,b,c)}(x) = F_{D(a,b,c)} \circ t_1(x) = F_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) [/math]

3 Veranschaulichung

Die Transformationsfunktion [math]t_1[/math] bildet das Interval [math][0,1][/math] auf das Interval [math][a,b][/math] ab, die Transformationsfunktion [math]t_2[/math] modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche „wieder“ 1 beträgt:

[math] \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{D(a,b,c)}(x)\, \mathrm{d}x = 1[/math]

4 Beweis

Die Bedingungen [math]x \lt a[/math] und [math]\frac{x-a}{b-a} \lt 0[/math] sowie [math]x \gt b[/math] und [math]\frac{x-a}{b-a} \gt 1[/math] sind äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).

In den zugehörigen Intervallen [math]]-\infty,a[[/math] bzw. [math]]-\infty,0[[/math] sowie [math]]b, \infty[[/math] bzw. [math]]1, \infty[[/math] sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:

[math]f_{D(a,b,c)}(x) = 0 = f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)[/math] (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Dreiecksverteilung)

Für [math]a \le x \le c[/math] bzw. die dazu äquivalente Bedingung [math]0 \le \frac{x-a}{b-a} \le \frac{c-a}{b-a}[/math] (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

[math]\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}[/math]
= [math]\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{\frac{x-a}{b-a}}{\frac{c-a}{b-a}}}[/math] (Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
= [math]\displaystyle{\frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}[/math]
= [math]\displaystyle{f_{D(a,b,c)}(x)}[/math] (Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)


Für [math]c \lt x \le b[/math] bzw. die dazu äquivalente Bedingung [math]\frac{c-a}{b-a} \lt \frac{x-a}{b-a} \le 1[/math] (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

[math]\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}[/math]
= [math]\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot 2\cdot\frac{1-\frac{x-a}{b-a}}{1-\frac{c-a}{b-a}}}[/math] (Definition der Dichtefunktion der Standard-Dreiecksverteilung)
= [math]\displaystyle{\frac{2}{b-a}\cdot\frac{\frac{(b-a-x+a)}{b-a}}{\frac{(b-a-c+a)}{b-a}}}[/math]
= [math]\displaystyle{\frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}[/math]
= [math]\displaystyle{f_{D(a,b,c)}(x)}[/math] (Definition der Dichtefunktion der Dreiecksverteilung)

Damit ist die Behauptung für alle [math]x \,\in\, ]-\infty,\infty[ \, = \, ]-\infty,a[ \,\cup\, [a,c] \,\cup\, ]c,b] \,\cup\, ]b,\infty[ [/math] gezeigt.

5 Beweis des Korrolars

[math]\displaystyle{F_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}[/math]
= [math]\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! F'_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t}[/math] (Fundamentalsatz der Analysis)
= [math]\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! \frac{1}{b-a}}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t [/math] (Definition der Verteilungsfunktion der standardisierten Dreiecksverteilung, Kettenregel)
= [math]\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! f_{D(a,b,c)}(t) \, \mathrm{d} t}[/math] (obiger Satz)
= [math]\displaystyle{F_{D(a,b,c)}(x)}[/math] (Definition der Verteilungsfunktion der allgemeinen Dreiecksverteilung)

6 Quellen

  1. Autor des Beweises: Wolfgang Kowarschick
  2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)

7 Siehe auch

  1. Wikipedia:Affine_Transformation