Standard-Dreiecksverteilung

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1 Definition

Eine stetige Zufallsgröße [math]X = D(c) := D(0,1,c)\,[/math], wobei [math]D(a,b,c)\,[/math] die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

[math]f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]

beschrieben werden kann.

[math]c \in ]0,1[[/math] heißt Parameter der Verteilung [math]D(c)\,[/math].

[math]D(c)\,[/math] wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.

2 Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung

Parameter
(vgl. Parameter der
allgemeinen
Dreiecksverteilung)
[math]c \,\in\, ]0,1[[/math]
[math]a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c[/math]
Dichtefunktion
[math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit
[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\![/math]
Träger
[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion
[math] F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus
[math]\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\![/math]
Erwartungswert
[math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math]
p-Quantil
[math] F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c \lt p \le 1 \end{cases} [/math]
Median
[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz
[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math]
Standardabweichung
[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math]

3 Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung hat eine allgemeinere Dichtefunktion [math]f_{D(a,b,c)}\![/math]. Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:

[math]f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)[/math]

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:

[math]f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) [/math]

(Beweis der zweiten Aussage)

4 Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)