Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße $$ X $$ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $$ f_X $$ heißt $\beta$ -verteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:

Parameter	$\alpha \in ]0,\infty[$ $\beta \in ]0,\infty[$ $a \in ]-\infty,\infty[$ $b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a$ $d := b-a\!$
Dichtefunktion	$f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{d(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{d(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}$
Stetigkeit	$f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!$
Träger	$f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!$
Verteilungsfunktion	$F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{d(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{d(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1, & \mbox{wenn } b < x \end{cases}$
Modus	$c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2}$ $\operatorname{md}_X = \{c\},\,f_X(c)= \mbox{?}\!$
Erwartungswert	$\mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3}$
Median	$F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2}, & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} \le c\\ b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2}, & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases}$
Varianz	$\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18}$
Standardabweichung	$\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{d}{6} \sqrt{2(1-m+m^2)}$

Quellen

Anonym