Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)

Voraussetzung

Es seien $ a,b \in \mathbb{R}\! $ zwei relle Zahlen mit $ a < b\! $ (d.h. $ a\! $ und $ b\! $ definieren ein endliches Intervall) sowie $ c \in ]a,b[\! $ und $ x \in \mathbb{R}\! $.

Satz

1. $ a \le x \le b \ \Leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ bzw. $ x \in\, [a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1] $
    
2. $ x \in\, ]a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]0,1] $
    
3. $ x \in\, [a,b[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[ $
    
4. $ x \in\, ]a,b[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]0,1[ $
    
5. $ x < a \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0 $ bzw. $ x \in\, ]-\infty,a[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0[ $
    
6. $ x \in\, ]-\infty,a] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0] $
    
7. $ b < x \ \Leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a} $ bzw. $ x \in\, ]b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]1, \infty,[ $
    
8. $ x \in\, [b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty,[ $
    
9. $ x < c \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a} $
    
10. $ c < x \ \Leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a} $
     

Beweis der ersten Aussage

	$ a \le x \le b $	$ |\quad -a\! $
$ \Leftrightarrow $	$ 0 \le x-a \le b-a $	$ |\quad /(b-a)\! $
$ \Leftrightarrow $	$ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1 $	(da $ b-a > 0\! $)

Die restlichen Aussagen beweist man analog.

Quellen

• Autor des Beweises: W. Kowarschick

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