Beta-Verteilung
Definition
Eine stetige Zufallsgröße $ X $ heißt beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)= \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
beschrieben werden kann. $ \Beta(\alpha,\beta)\! $ ist dabei die Beta-Funktion.
$ \alpha\,\beta,\,a $ und $ b\, $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
Eigenschaften einer beta-verteilten Zufallsgröße
| Parameter | $ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $ $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ d := b-a\! $ |
| Dichtefunktion | $ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $ |
| Modus | $ c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta-2} $ $ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta \ge 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{b\alpha+ a\beta}{\alpha+\beta} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}} $ |
Die Dichtefunktionen der hier definierten allgemeinen Beta-Verteilungen, können durch einfache Linear-Transformationen aus den Dichtefunktionen der normalisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:
$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{d}\right) $
Beweis
$ \mbox{Es sei } a \le x \le b{.} $
$ \mbox{Dann gilt: }\! $
$ \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = $
$ \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}-0\right)^{\alpha -1}(1-\frac{x-a}{b-a})^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)1^{\alpha+\beta-1}} = $
$ \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)} = $
$ \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{(b-a)^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)} = $
$ \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}} = $
$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x)\! $
