Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)

Satz

Die Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen, können durch einfache Linear-Transformationen aus den Dichtefunktionen der normalisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{d}\right) $

Beweis

Für $ a \le x \le b $ gilt:

$ \begin{matrix} & \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,alpha,\beta,0,1}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) \\\\ = & \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}-0\right)^{\alpha -1}(1-\frac{x-a}{b-a})^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)1^{\alpha+\beta-1}} & \mbox{(Definition Beta-Verteilung)} \\\\ = & \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)} \\\\ = & \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{(b-a)^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)} \\\\ = & (b-a)^{-1}\cdot \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)(b-a)^{\alpha-1+\beta-1}} \\\\ = & \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}} \\\\ = & f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) \end{matrix} $