Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)

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1 Satz

Die Dichtefunktionen [math]f_{\Beta V(\alpha,\beta)}[/math] und [math]f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}[/math] seien wie in Beta-Verteilung (standardisiert) bzw. Beta-Verteilung beschrieben definiert. Außerdem sollen die Parameter [math]\alpha,\beta,a[/math] und [math]b[/math] die dort genannten Voraussetzungen erfüllen.

Unter diesen Voraussetzungen können die Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen mit Hilfe zweier affiner Transformationen [math]t_1(x) = \frac{x-a}{b-a} = \frac{1}{b-a}\cdot x - \frac{a}{b-a}[/math] und [math]t_2(x) = \frac{1}{b-a}\cdot x[/math] aus den Dichtefunktionen der standardisiertren Beta-Verteilungen erzeugt werden:

[math] f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = t_2 \circ f_{X,\alpha,\beta} \circ t_1(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) [/math] (vgl. Verkettung von Funktionen)

2 Korrolar

Für die zugehörigen Verteilungsfunktionen folgt aus dem obigen Satz:

[math] F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) \circ t_1(x) = F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) [/math]

3 Veranschaulichung

Die Transformationsfunktion [math]t_1[/math] bildet das Interval [math][0,1][/math] auf das Interval [math][a,b][/math] ab, die Transformationsfunktion [math]t_2[/math] modifiziert die Höhe der transformierten Dichtefunktion so, dass die von ihr umfasste Fläche wieder 1 beträgt:

[math] \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)\, \mathrm{d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{vV(\alpha,\beta, a, b)}(x)\, \mathrm{d}x = 1[/math]

4 Beweis

Laut Definition gilt für jede Beta-Verteilung [math]a \lt b[/math], d.h. [math]b-a \gt 0[/math].

Die Bedingungen [math]x \lt a[/math] und [math]\frac{x-a}{b-a} \lt 0[/math] sowie [math]x \gt b[/math] und [math]\frac{x-a}{b-a} \gt 1[/math] sind jeweils äquivalent (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)).

In den zugehörigen Intervallen [math]]-\infty,a[[/math] bzw. [math]]-\infty,0[[/math] sowie [math]]b, \infty[[/math] bzw. [math]]1, \infty[[/math] sind die jeweiligen Dichtefunktionen konstant gleich 0. Und damit gilt die Aussage des Satzes trivialerweise:

[math]f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = 0 = f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)[/math] (Def. der Dichtefunktionen der standardisierten und der allgemeinen Beta-Verteilung)


Für [math]a \le x \le b[/math] bzw. die dazu äquivalente Bedingung [math]0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1[/math] (Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)) gilt:

[math]\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}[/math]
= [math]\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(1-\frac{x-a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}}[/math] (Definition der Dichtefunktion der standardisierten Beta-Verteilung)
= [math]\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}}[/math]
= [math]\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{(b-a)^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)}} [/math]
= [math]\displaystyle{\frac{1}{b-a}\cdot \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha-1+\beta-1}}}[/math]
= [math]\displaystyle{\frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)\cdot (b-a)^{\alpha+\beta-1}}}[/math]
= [math]\displaystyle{f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)}[/math] (Definition der Dichtefunktion der allgemeinen Beta-Verteilung)


Damit ist die Behauptung für alle [math]x \,\in\, ]-\infty,\infty[ \, = \, ]-\infty,a[ \,\cup\, [a,b] \,\cup\, ]b,\infty[ [/math] gezeigt.

4.1 Beweis des Korrolars

[math]\displaystyle{F_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)}[/math]
= [math]\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! F'_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t}[/math] (Fundamentalsatz der Analysis)
= [math]\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! \frac{1}{b-a}}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{t-a}{b-a}\right) \, \mathrm{d} t [/math] (Definition der Verteilungsfunktion der standardisierten Beta-Verteilung, Kettenregel)
= [math]\displaystyle{\int_{-\infty}^x \! f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(t) \, \mathrm{d} t}[/math] (obiger Satz)
= [math]\displaystyle{F_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x)}[/math] (Definition der Verteilungsfunktion der allgemeinen Beta-Verteilung)

5 Quellen

  1. Autor des Beweises: W. Kowarschick
  2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)

6 Siehe auch