Beta-Verteilung (standardisiert)
Definition
Eine stetige Zufallsgröße $ X $ heißt normalisiert beta-verteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
$ f_{X,\alpha,\beta}(x)= \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
beschrieben werden kann. $ \Beta(\alpha,\beta)\! $ ist dabei die Beta-Funktion.
$ \alpha\, $ und $ \beta\, $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
Eigenschaften einer normalisiert beta-verteilten Zufallsgröße
| Parameter | $ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} \frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)}& \mbox{wenn } 0 \le x \le 1\\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $ |
| Modus | $ c := \frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} $ $ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1 \mbox{ und } \alpha\beta > 1\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{\alpha}{\alpha+\beta} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}} $ |
Zusammenhang zwischen normalisierter und allgemeiner Beta-Verteilung
Die Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen können durch einfache Linear-Transformationen aus den Dichtefunktionen der hier definierten normalisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:
$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $
Man beachte: $ f_{X,\alpha,\beta,a,b}\! $ ist in Beta-Verteilung definiert.
(Beweis)
