Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung (Satz)

Voraussetzung

Die Dichtefunktionen $ f_{X,\alpha,\beta,a,b}\! $ und $ f_{X,\alpha,\beta}\! $ seien wie in Beta-Verteilung (normalisiert) bzw. Beta-Verteilung beschrieben definiert. Außerdem sollen die Parameter $ \alpha,\beta,a\! $ und $ b\! $ die dort genannten Voraussetzungen erfüllen.

Satz

Die Dichtefunktionen der allgemeinen Beta-Verteilungen, können durch einfache Linear-Transformationen aus den Dichtefunktionen der normalisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:

$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

Beweis

Die Bedingung $ a \le x \le b $ ist gleichwertig zu $ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1 $, da $ a < b\! $. Wegen dieser Beziehung ist die Aussage des Satzes für $ x < a\! $ und $ b < x\! $ trivial. In diesen Intervallen gilt:

$ f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) = 0 = \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

Für $ a \le x \le b $ gilt:

$ \begin{matrix} & \frac{1}{b-a}\cdot f_{X,\alpha,\beta}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) \\\\ = & \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(1-\frac{x-a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)} & \mbox{(Definition)} \\\\ = & \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\left(\frac{x-a}{b-a}\right)^{\alpha -1}\left(\frac{b-a-x+a}{b-a}\right)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)} \\\\ = & \frac{1}{b-a}\cdot \frac{\frac{(x-a)^{\alpha -1}}{(b-a)^{\alpha -1}}\frac{(b-x)^{\beta-1}}{(b-a)^{\beta-1}}}{\Beta(\alpha,\beta)} \\\\ = & (b-a)^{-1}\cdot \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)(b-a)^{\alpha-1+\beta-1}} \\\\ = & \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}} \\\\ = & f_{X,\alpha,\beta,a,b}(x) & \mbox{(Definition)} \end{matrix} $