Russellsche Antinomie

Definition des Begriffes „Menge“ von Cantor

Der Begirff Menge wurde ursprünglich (1895) von Cantor folgendenrmaßen definiert:

Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung $ M $
von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten $ m $
unserer Anschauung und unseres Denkens
(welche Elemente von $ M $ genannt werden)
zu einem Ganzen.

Diese Definition führt aber zu einer Antinomie, d.h. auf ein logisches Paradoxon, das erstmalls von Russel beschrieben wurde.

Definition der „Menge aller Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft“

Zunächst zeigt man, dass die „Menge aller Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft“ auch ein Objekt unserer Anschauung ist und damit – nach Cantor – Element einer beliebigen Menge sein kann.

Es sei $ V $ die Gesamtheit aller Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens.

Ein logische Formel $ A(x) $ beschreibt bestimmte Eigenschaften von Objekten aus $ V $, indem sie für jedes Objekt $ x $ aus $ V $ den Wert wahr oder falsch als Ergebnis hat. Dabei bedeutet:

• wahr: $ x $ hat die mit $ A(x) $ beschriebene Eigenschaft
• falsch: $ x $ hat die mit $ A(x) $ beschriebene Eigenschaft nicht

Mit $ \{x|A(x)\} $ wird die Menge aller Objekte $ x $ aus $ V $ bezeichnet, die die Eigenschaft $ A $ haben, d.h., für die $ A(x) $ den Wert wahr hat.

Nun kann man die Element-Beziehung folgendermaßen definieren: $ b\, $ ist genau dann ein Element der Menge $ \{x|A(x)\}\, $ ist, in Zeichen $ b \in \{x|A(x)\} $, wenn $ A(b)\, $ wahr ist (d.h., wenn $ A(b)\, $ den Wert wahr hat)

Beispiele

• $ \{x|x \mbox{ ist Student an der Fachhochschule Augburg}\}\, $ ist die Menge aller HSA-Studenten
• $ \{x|x \mbox{ ist eine Primzahl}\}\, $ ist die Menge aller Primzahlen
• $ \mathbb{Q} := \{x|x \mbox{ ist eine rationale Zahl}\} $ ist die Menge der rationalen Zahlen
• $ \mathbb{V} := \{x|x \mbox{ ist eine Menge}\} $ ist die Menge aller Mengen

Jede Menge $ \{x|A(x)\}\, $ ist also „ein Objekt unserer Anschauung“ und damit ein Objekt aus $ V\, $. Dabei gibt es auch Mengen, die etwas ungewöhnlich Eigenschaften haben. Zum Beispiel enthält sich die Menge $ \mathbb{V} $ selbst, da $ \mathbb{V} $ die Eigenschaft erfüllt "eine Menge zu sein".

Russelsche Antinomie

Aus der Tatsache, dass es Mengen gibt, die sich selbst enthalten, und andere, bei denen dies nicht der Fall ist, ergibt sich nun die so genannte Russelsche Antinomie.

$ \mathbb{R} := \{x|x \mbox{ ist eine Menge} \wedge x \notin x\} $ ist die so genannte Russel-Menge. Sie enthält alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten.

Die Frage ist, ob sich die Russel-Menge selbst enthält oder nicht. Aber diese Frage kann nicht beantwortet werden, da sich die Russel-Menge genau dann selbst enthält, wenn sie sich nicht selbst enthält: $ \mathbb{R} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R} \mbox{ ist ein Menge} \wedge \mathbb{R} \notin \mathbb{R} $

NAch der Cantorschen Definition ist die Russel-Menge eine Menge. Und Damit ergibt sich sofort ein Widerspruch: $ \mathbb{R} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \mathbb{R} \notin \mathbb{R} $

In Worten: Die Russel-Mengen enthält sich genau dann selbst, wenn sie sich nicht selbst enthält.

Quelle

Schwichtenberg, Mathematische Logik, 2000

Siehe auch

Wikipedia:Menge (Mathematik)