Algebraische Struktur: Unterschied zwischen den Versionen

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* <math>A\,</math> ist eine nichtleere [[Menge]]
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* <math> o_1, ..., o_m\,\,\,(m \in \mathbb{N}</math>) sind [[endlich]] viele (evtl. partielle) [[algebraische Operation]]en bzgl. <math>A\,</math>, d.h. für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[partielle Funktion|partielle]]) [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math>
* <math> o_1, ..., o_m\,\,\,(m \in \mathbb{N}</math>) sind [[endlich]] viele (evtl. [[partielle algebraische Operation|partielle]]) [[algebraische Operation]]en bzgl. <math>A\,</math>, d.h. für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[partielle Funktion|partielle]]) [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math>


=Beispiele=
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Version vom 1. August 2007, 17:46 Uhr

Definition

Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt algebraische Struktur (kurz Algebra), wenn:

Beispiele

  • Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
  • Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $. Dabei ist die Subtraktion lediglich eine partielle algebraische Operation.

Bemerkungen

Die wesentliche Eigenschaft einer algebraischen Operation ist die Abgeschlossenheit: Jede algebraische Operation $ o_i\, $ einer algebaischen Struktur $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge $ A\, $ von $ \mathcal{A}\, $ wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.

Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen

Quellen


Dieser Artikel ist GlossarWiki-konform.