Algebraische Struktur

Definition nach Brockhaus (1986 A-Apt) und Gellert, Kästner (1979)

Ein Tupel $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ heißt algebraische Struktur (kurz Algebra), wenn:

• $ A\, $ ist eine nichtleere Menge
• $ o_1, ..., o_m\,\,\,(m \in \mathbb{N} $) sind endlich viele algebraische Operationen bzgl. $ A\, $

Bemerkungen

Für alle $ i \in [1..m] $ ist $ o_i\, $ eine (evtl. partielle) Funktion $ o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0) $.

Die wesentliche Eigenschaft einer algebraischen Operation ist die Abgeschlossenheit: Jede algebraische Operation $ o_i\, $ einer algebraischen Struktur $ \mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m) $ bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge $ A\, $ von $ \mathcal{A}\, $ wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.

Beispiele

• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, \cdot) $.
• Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine algebraische Struktur: $ (\mathbb{N}, +, -, \cdot) $. Dabei ist die Subtraktion lediglich eine partielle algebraische Operation.

Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen

• Halbgruppe
  • Monoid
    • Gruppe
      • Abelsche Gruppe = Kommunikative Gruppe
• Halbring
  • Ring
    • Kommutativer Ring
      • Körper
• Verband
  • Modularer Verband
    • Distributiver Verband
      • Komplementärer Distributiver Verband = Boolesche Algebra
        • Boolesche σ-Algebra
      • Ereignisalgebra = Mengenalgebra
        • σ-Algebra
• Hyperkomplexes System = Algebra über einen Ring (oft auch nur: Algebra)
  • Vektorraum
• Relationale Algebra

Quellen

• Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik
• Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-Apt)

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