Beta-Verteilung

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Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt $ \beta $-verteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:

Parameter	$ \alpha \in ]0,\infty[ $ $ \beta \in ]0,\infty[ $ $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ d := b-a\! $
Dichtefunktion	$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{(x-a)^{\alpha -1}(b-x)^{\beta-1}}{\Beta(\alpha,\beta)d^{\alpha+\beta-1}}& \mbox{wenn } a \le x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Modus	$ c := a + d\frac{\alpha -1}{\alpha + \beta -2} $ $ \operatorname{md}_X = \{c\}, \mbox{ falls } \alpha, \beta > 1\! $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \frac{b(\alpha -1)+ a(\beta-1)}{\alpha+\beta} $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \frac{d^2\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \frac{d}{(\alpha+\beta)}\sqrt{\frac{\alpha\beta}{\alpha+\beta+1}} $

Quellen

• Wikipedia (en): Beta distribution
• Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung