Klasse (Mengenlehre)
Anschauliche Definition
Eine Klasse ist eine Zusammenfassung von wohldefinierten und unterscheidbaren Elementen.
Als Elemete einer Klasse kommen reale und abstrakte Objekte, aber auch Klassen in Frage.
Eine Klasse, die Element einer anderen Klasse ist heißt Menge. Ein Klasse, die kein Element irgendeiner Klasse ist, heißt Unmenge oder echte Klasse.
Axiomatische Definition
Bevor formale Definitionen der Begriffe Klasse und Menge angegeben werden, müssen erst ein paar andere Begriffe definiert werden.
Elementbeziehung
Die Elementbeziehung $ \in $ ist das einzige nicht-logische Element der Sprache der Mengenlehre. Alle anderen Elemente der Sprache der Mengenlehre sind Elemente der Logik: $ \vee, \wedge, \neg, \Rightarrow, \Leftrightarrow, \forall, \exists $ sowie Variablen.
Atomare Formeln sind von der Bauart $ x \in y $ ($ x\, $ ist Element von $ y\, $).
Außerdem wird definiert: $ x \notin y :\Leftrightarrow \neg x \in y $ ($ x\, $ ist kein Element von $ y\, $).
Gleichheit
Die Gleichheit $ =\, $ ist folgendermaßen definiert: $ x = y := \forall z: z \in x \Leftrightarrow z \in y $
1. Axiom (Extensionalitätsaxiom)
Die Verträglichkeit zwischen der $ \in $-Relation und der Gleichkeit wird mit dem ersten Axiom der Mengenlehre sicher gestellt:
$ \forall x,y: (\forall z: z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x=y $
Formale Definition der Begriffe Klasse und Menge
Eine Klasse ist eine durch eine Formel der Sprache der Mengenlehre definierbare Gesamtheit von Mengen:
Ist $ A(x) $ eine (offene) Formel, in der die Variable $ x $ und eventuell weitere Mengenvariablen (so genannte Paramer) vorkommen können, so heißt $ \{x|A(x)\} $ Klasse aller Mengen $ x $ mit der Eigenschaft $ A(x) $. Das heißt insbesondere, eine Menge ist immer Element irgendeiner Klasse. Ein beliebige Klasse kann dagegen Element einer anderen Klasse sein, muss es aber nicht.
Bemerkungen
Die Begriffe Klasse und Menge werden eigentlich gar nicht definiert, sondern es wird nur gesagt, auf welche Art und Weise Formeln gebildet werden müssen, um mit diesen Begriffen arbeiten zu können. Das ist axiomatische Mathematik in Reinform. :-)
