Menge (Mengenlehre)

Ursprüngliche Definition nach Cantor (1895)

„Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung $ M $ von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten $ m $ unserer Anschauung und unseres Denkens (welche Elemente von $ M $ genannt werden) zu einem Ganzen.“ (Schwichtenberg (2000))

Bemerkung

Diese Definition führt zu einer Antinomie, d.h. auf ein logisches Paradoxon, das erstmalls von Russel beschrieben wurde: die Russelsche Antinomie.

Definition gemäß der Klassentheorie

Eine Menge ist eine spezielle Klasse: Jede Klasse, die Element einer beliebigen Klasse ist, wird als Menge bezeichnet. (Klassen, die kein Element einer anderen Klasse sind, heißen Unmengen.)

Bemerkung

Der Begriff Klasse ersetzt im Wesentlichen den Cantorschen Begriff der Menge. Klassen fassen „Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens“ zu einer Einheit zusammen. Die Definition des Begriffes Klasse unterscheidet sich allerdings in zwei wesentlichen Punkten von Cantors Definition der Menge:

1. Klassen fassen nicht mehr beliebige „Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens“ zusammen, sondern nur noch solche, die keine Unmengen sind.
2. Klassen werden formal gar nicht definiert. Es werden nur deren Eigenschaften axiomatisch beschrieben.

ad 1) Die Unterscheidung zwischen Mengen und Unmengen in der Klassentheorie wurde eingeführt, um die Russelsche Antinomie zu beheben (siehe dort).

ad 2) Die axiomatische Definition von Objekten ist in der Mathematik weit verbreitet. Zum Beispiel werden geometrische Objekte wie Punkte, Geraden etc. meist auf diese Weise eingeführt.

Quelle

Schwichtenberg, Mathematische Logik, 2000

Siehe auch

Wikipedia:Menge (Mathematik)