Tupel
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Anschauliche Definition (nach Kowarschick)
Ein Tupel ist eine Menge von unterschiedlich benannten Elementen.
Indexmenge
Die Menge der (unterschiedlichen) Elementnamen wird Indexmenge genannt.
Länge eines Tupels
Die Länge eines Tupel ist gleich der Mächtigkeit der zugehörigen Indexmenge.
Ein Tupel der Länge $n$ wird auch $n$-Tupel genannt.
Gleichheit zweier Tupel
Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn die zugehörigen Indexmengen gleich sind und wenn die jeweils gleich benannten Elemente ebenfalls gleich sind.
Beispiele
Tupel sind laut Definition nichts anderes als Funktionen, deren Definitionsbereich höchstens abzählbar ist. Eine Funktion ordnet jedem Element des Definitionsbreichs (bei Tupeln Indexmenge genannt) einen Wert zu. Im Fall von endlichen Indexmengen kann dies einfach durch die Angabe von so genannten Schlüssel/Wert-Paaren (key/value pairs) erfolgen.
Beispiele in JSON-Notation
In JSON können inneralb einer Mengenklammer beliebig viele (jedoch nur endlich viele) Schlüssel/Wert-Paare angeben werden. Als Schlüssel werden Zeichenketten (Strings) verwendet. Der zugehörige Wert wird von Schlüssel durch einen Doppelpunkt abgetrennt.
Tupel 1: {"name": "Wolfgang", "geburtsjahr": 1961, "hochschule": "HSA"}
Tupel 2: {"ehefrau": "Marianne", "geburtsjahr": 1961, "name": "Wolfgang", }
Tupel 3: {"name": "Wolfgang", "geburtsjahr": 1962, "hochschule": "HSA"}
Tupel 4: {"name": "Wolfgang", "geburtsjahr": 1961, "ehefrau": "Marianne"}
Tupel 5: {"name": "Wolfgang", "geburtsjahr": 1961, "hochschule": "HSA", "ehefrau": "Marianne"}
Nur Tupel 1 und 2 sind gleich, alle anderen Tupel unterscheiden sich. Entweder stimmen nicht alle gleich benannten Elemente überein (Tupel 1 und 3 sowie Tupel 2 und 3) oder die Indexmengen unterscheiden sich (alle übrigen Tupelpaare).
Die Länge der ersten vier Tupel beträgt 3, die Länge des fünften Tupels beträgt 4.
Folgendes ist kein Tupel, da zwei Elemente gleich benannt sind:
{"name": "Wolfgang", "name": "Lukas", "geburtsjahr": 1961}
Beispiele in Vektor-Notation
Für Tupel, deren Indexmenge eine Menge von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist (i. Allg. $\{i: 0 < i \le n\}$, oder, wie in vielen Programmiersprachen üblich, $\{i: 0 \le i < n\}$), bietet sich die so genannte Vektor-Notation an. Bei dieser werden die Elementnamen nicht explizit angegeben, sondern implizit durch die Position der Elemente festgelegt:
Tupel 6: $(555, 333)$
Tupel 7: $(333, 555)$
Tupel 8: $(555, 333, 555)$
Tupel 9: $(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, \ldots)$
Die Tupel 6 bis 9 unterscheiden sich alle voneinander. In Tupel 6 steht an Position 1 das Element $555$, während in Tupel 7 an Position 1 das Element $333$ steht. Tupel 8 unterscheidet sich von Tupel 6 und 7, da die Indexmengen ($\{1,2\}$ bei Tupel 6 und 7; $\{1,2,3\}$ bei Tupel 8) nicht übereinstimmen.
Tupel 6 und 7 sind $2$-Tupel, Tupel 8 ist um ein Element länger, die Länge von Tupel 9 beträgt ω (abzählbar unendlich). Tupel 9 ist also ein ω-Tupel. Da ein unendlich großes Tupel nicht mehr explizit angegeben werden kann , muss die Definition entweder anschaulich erfolgen (siehe obige Definition von Tupel 9) oder mittels einer Rechenvorschrift.
Formale Definition (in Anlehnung an Ebbinghaus[1])
Familie, $I$-Tupel
Es sei $I$ eine Menge (oder, allgemeiner, eine Klasse).
Eine Funktion $f: I \rightarrow \mathcal{V}$ von $I$ in die Allklasse $\mathcal{V}$ heißt Familie oder Tupel,
genauer $I$-Familie oder $I$-Tupel der Länge $n := |I|$ über der Indexmenge (bzw. Indexklasse) $I$.
Gleichheit zweier Tupel
Zwei Tupel $t_1$ und $t_2$ sind genau dann gleich, wenn $t_1$ und $t_2$ als Klassen gleich sind, d.h., wenn:
oder, anders fomuliert:
Satz
Seien $t_1$ und $t_2$ zwei Tupel.
$t_1$ und $t_2$ sind genau dann gleich, wenn die zugehörigen Indexmengen übereinstimmen und wenn die Funktionswerte für jedes Element der Indexmenge ebenfalls übereinstimmen:
Mit $\rm{Def}(f)$ wird hier die Definitionsmenge, also die Indexmenge einer Funktion $f$ bezeichnet.
Spezielle Tupel
| Länge $n$ | Name |
|---|---|
| 0 | Leeres Tupel |
| 1 | Singel |
| 2 | (geordnetes) Paar |
| 3 | Triple |
| 4 | Quadrupel |
| 5 | Quintupel |
| 6 | Sextupel |
| 7 | Septupel |
| 8 | Oktupel |
| $\vdots$ | $\vdots$ |
| 100 | Centupel |
| $n$ | $n$-Tupel |
| ω | ω-Tupel, Folge, Reihe, Familie |
Anmerkungen
Zwei gleiche Tupel sind trivialerweise gleichlang, da sie laut Definition dieselben Elementnamen besitzen und die Länge eines Tupel definitionsgemäß gleich der Mächtigkeit der zugehörigen Indexmenge ist.
Tupel können als geordnete Multimengen, d.h. als Listen aufgefasst werden, sofern für die Elementnamen eine Ordnung definiert ist:
- Elementwerte können mehrfach vorkommen (im Gegensatz zu normalen Mengen aber in Einklang mit Multimengen).
- Die Elemente sind angeordnet (im Gegensatz zu Mengen und Multimengen). Die Ordnung ist durch die Ordnung der Elementnamen vorgegeben.
Insbesondere für Tupel in Vektornotation trifft diese Aussage zu: Als Elementnamen werden natürliche Zahlen verwendet und legen damit eine sehr natürliche Ordnung fest.
Quellen
- ↑ Ebbinghaus (2003): Heinz-Dieter Ebbinghaus; Einführung in die Mengenlehre; Reihe: Hochschultaschenbuch; Auflage: 4; Verlag: Spektrum Akademischer Verlag; Adresse: Heidelberg, Berlin; ISBN: 3-8274-1411-3; 2003; Quellengüte: 5 (Buch), S. 59–60
