Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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pdf_image =| | pdf_image =| | ||
cdf_image =| | cdf_image =| | ||
parameters =<math>c \in ]0,1[</math>| | parameters =<math>c \in ]0,1[</math>| | ||
proof_parameters =| | |||
pdf =<math> | pdf =<math> | ||
f_X(x) := | f_X(x) := | ||
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\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
proof_pdf =| | |||
continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>| | continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>| | ||
proof_continuity =| | |||
support =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>| | support =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>| | ||
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cdf =<math> | cdf =<math> | ||
F_X(x) = | F_X(x) = | ||
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\end{cases} | \end{cases} | ||
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proof_cdf =| | |||
mode =<math>c,\,f_X(c)=2\!</math>| | mode =<math>c,\,f_X(c)=2\!</math>| | ||
proof_mode =| | |||
mean =<math>\mu(X) = \frac{1+c}{3}</math>| | mean =<math>\mu(X) = \frac{1+c}{3}</math>| | ||
proof_mean =| | |||
quartile = <math> | quartile = <math> | ||
F_X^{-1}(p) = | F_X^{-1}(p) = | ||
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\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
proof_quartile =| | |||
median =<math> | median =<math> | ||
F_X^{-1}(0,5) = | F_X^{-1}(0,5) = | ||
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\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
proof_median =| | |||
variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>| | variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>| | ||
proof_variance =| | |||
sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>| | sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>| | ||
proof_sigma =| | |||
skewness =<math> | skewness =<math> | ||
\frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}} | \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}} | ||
</math> (nicht überprüft)| | </math> (nicht überprüft)| | ||
proof_skewness =| | |||
kurtosis =<math>\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)| | kurtosis =<math>\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)| | ||
proof_kurtosis =| | |||
entropy =<math>h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)</math> (nicht überprüft)| | entropy =<math>h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)</math> (nicht überprüft)| | ||
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moment = | | moment = | | ||
proof_moment =| | |||
centralmoment =| | centralmoment =| | ||
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mgf =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | mgf =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | ||
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char =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | char =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | ||
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Version vom 30. Mai 2006, 07:23 Uhr
Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.
Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:
| Parameter | $ c \in ]0,1[ $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1, & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $ |
| Modus | $ c,\,f_X(c)=2\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{1+c}{3} $ |
| Median | $ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5 \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)} $ |
| Schiefe | $ \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}} $ (nicht überprüft) |
| Wölbung | $ \frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5} $ (nicht überprüft) |
| Entropie | $ h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right) $ (nicht überprüft) |
| Momenterzeugende Funktion | $ M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2} $ (nicht überprüft) |
| Charakteristische Funktion | $ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2} $ (nicht überprüft) |
