Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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cdf_image =| | cdf_image =| | ||
parameters =<math> | parameters =<math>m \in ]0,1[</math>| | ||
proof_parameters =| | proof_parameters =| | ||
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f_X(x) := | f_X(x) := | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
2\frac{x}{ | 2\frac{x}{m}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le m \\ | ||
2\frac{1-x}{1- | 2\frac{1-x}{1-m} & \mbox{wenn } m < x \le 1 \\ | ||
0, & \mbox{sonst } | 0, & \mbox{sonst } | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
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\begin{cases} | \begin{cases} | ||
0, & \mbox{wenn } x < 1\\ | 0, & \mbox{wenn } x < 1\\ | ||
0+\frac{x^2}{ | 0+\frac{x^2}{m} & \mbox{wenn } 1 \le x \le m \\ | ||
1-\frac{(1-x)^2}{1- | 1-\frac{(1-x)^2}{1-m} & \mbox{wenn } m < x \le 1 \\ | ||
1, & \mbox{wenn } 1 < x | 1, & \mbox{wenn } 1 < x | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
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proof_cdf =| | proof_cdf =| | ||
mode =<math>\operatorname{md}_X =\{ | mode =<math>\operatorname{md}_X =\{m\},\,f_X(m)=2\!</math>| | ||
proof_mode =| | proof_mode =| | ||
mean =<math>\mu(X) = \frac{1+ | mean =<math>\mu(X) = \frac{1+m}{3}</math>| | ||
proof_mean =| | proof_mean =| | ||
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F_X^{-1}(p) = | F_X^{-1}(p) = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
0+\sqrt{ | 0+\sqrt{mp}, & \mbox{wenn } 0 \le p \le m \\ | ||
1-\sqrt{(1- | 1-\sqrt{(1-m)(1-p)}, & \mbox{wenn } m < p \le 1 | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
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F_X^{-1}(0,5) = | F_X^{-1}(0,5) = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
0+\frac{\sqrt{ | 0+\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m\\ | ||
1-\frac{\sqrt{2(1- | 1-\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
proof_median =| | proof_median =| | ||
variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{ | variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{m^2 - m + 1}{18}</math>| | ||
proof_variance =| | proof_variance =| | ||
sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2( | sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(m^2 - m + 1)}</math>| | ||
proof_sigma =| | proof_sigma =| | ||
Version vom 30. Mai 2006, 08:17 Uhr
Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.
Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:
| Parameter | $ m \in ]0,1[ $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{m}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le m \\ 2\frac{1-x}{1-m} & \mbox{wenn } m < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{m} & \mbox{wenn } 1 \le x \le m \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-m} & \mbox{wenn } m < x \le 1 \\ 1, & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $ |
| Modus | $ \operatorname{md}_X =\{m\},\,f_X(m)=2\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{1+m}{3} $ |
| Median | $ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{m^2 - m + 1}{18} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(m^2 - m + 1)} $ |
