Dreiecksverteilung
Definition
Eine stetige Zufallsgröße $ X = D(a,b,c)\, $ heißt dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
beschrieben werden kann.
$ a \in ]-\infty,\infty[ $, $ b \in ]a,\infty[ $ und $ c \in ]a,b[ $ heißen Parameter der Verteilung.
(vgl. Standard-Dreiecksverteilung)
Eigenschaften einer dreiecksverteilten Zufallsgröße
| Parameter (vgl. Parameter der standardisierten Dreiecksverteilung) | $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]a,\infty[ $ $ c \in ]a,b[ $ $ d := b-a\! $ $ m := \frac{c-a}{d} \in ]0,1[,\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d $ $ m $ beschreibt den prozentualen Abstand von $ c $ zu $ a $ bzgl. $ b $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{d(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{d(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{d(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2} & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{d(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2} & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1 & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $ |
| Modus | $ \operatorname{md}_X = \{c\} = \{a+md\},\,f_X(c)=\frac{2}{d}\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3} $ |
| p-Quantil | $ F_X^{-1}(p) = \begin{cases} a+d\sqrt{mp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le m \\ b-d\sqrt{(1-m)(1-p)} & \mbox{wenn } m < p \le 1 \end{cases} $ |
| Median | $ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 < m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} < c\\ a+\frac{d}{2} = b-\frac{d}{2} & \mbox{wenn } m = 0{,}5 \mbox{ bzw. } c = \frac{b+a}{2}\\ b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{d}{6} \sqrt{2(1-m+m^2)} $ |
Zusammenhang zwischen allgemeiner und ard-Dreiecksverteilung
Die Standard-Dreiecksverteilung hat eine speziellere Dichtefunktion $ f_{D(c)}\! $. Wie hängen die hier definierte allgemeiner Form und die dort definierte spezieller Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:
$ f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x) \! $
Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:
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$ f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $
Quellen
- Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik
- Wikipedia (en): Triangular distribution
- Statwiki HU Berlin: Dreiecksverteilung
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