Geordnetes Paar

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Definition (nach Kowarschick)

Der Term $[a,b]$, wobei $a$ und $b$ zwei Mengen oder Klassen sind, heißt geordnetes Paar oder $2$-Tupel, wenn für den Operator $[\cdot,\cdot]$ das Peanosche Paaraxiom erfüllt ist:

$\forall a, b, c, d: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a = c \wedge b = d$

Projektion

Für geordnete Paare werden folgende beiden Projektions-Operationen definiert, um das erste bzw. das zweite Element des Paars zu extrahieren:

$\pi_1([a,b]) := a$ (das erste Element des Paars)

$\pi_2([a,b]) := b$ (das zweite Element des Paars)

Beispiele für geordnete Mengen- oder Klassenpaare

Beispiele für mögliche Definitionen von $[a,b]$ sind:

$[a,b] := \{\{a\},\{a,b\}\}$ (Mengenpaare, 1921 entdeckt von Kuratowski)

$[a,b] := \{\{\{x\}\}\,:\, x \in a\} \,\cup\, \{\mathcal P(x)\,:\, x \in b\}$ (Klassenpaare, Schmidt)

Im Falle der ersten Definition müssen $a$ und $b$ Mengen sein ($\rm{Mg}(a) \wedge \rm{Mg}(b)$, siehe Klasse), damit das Paaraxiom erfüllt ist. Im Falle der zweiten Definition ist das Paaraxiom für beliebige Klassen $a$ und $b$ erfüllt.

Es gibt noch diverse weitere Möglichkeiten, Mengen- oder Klassenpaare zu definieren.

In der von McCarthy entwickelten Programmiersprache LISP werden geordnete Paare in der Form $(a \cdot b)$ (bzw. (a . b) in ASCII-Schreibweise) notiert und mit der Funktion $\rm{cons}$ erzeugt. Die Operationen $\pi_1$ und $\pi_2$ zur Extraktion der Elmente heißen bei McCarthy $\rm{car}$ und $\rm{cdr}$.

Reihenfolge der Elemente

Geordnete Paare sind im Gegensatz zu Mengen tatsächlich geordnet:

$\forall a, b: \{a,b\} = \{b,a\}$ (Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle, ...)

$\forall a, b: [a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b$ (... bei Paaren wegen des „Paaraxioms“ dagegen schon.)

In einem mengebasiertes Axiomen-System (wie es z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist die vorangehende Formel sowohl für Mengenpaare, als auch für Klassenpaare unbeschränkt gültig, da in diesem Fall $\forall$ als „Für alle Mengen innerhalb des Mengenuniversums“ interpretiert wird.

In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es z.B. der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre zu Grunde liegt) ist die Formel allerdings nur im Falle von Klassenpaaren gültig, da hier $\forall$ als „Für alle Klassen, d.h. für alle Mengen und Unmengen innerhalb des Klassenuniversums“ interpretiert wird.. Bei Mengenpaaren gilt lediglich:

$\forall a, b: \rm{Mg}(a) \wedge \rm{Mg}(b) \rightarrow ([a,b] = [b,a] \leftrightarrow a = b)$

Für Unmengen ($\rm{UMg}$, siehe Klasse) ist ein Mengenpaar nämlich stets gleich der Allklasse $\mathcal{V}$ oder stets gleich der leeren Menge, unabhängig von der Reihenfolge der Elemente:

$\forall a, b: \rm{UMg}(a) \vee \rm{UMg}(b) \rightarrow ([a,b] = \{a,\{a,b\}\} = \mathcal{V} \rm{bzw} \emptyset = \{b,\{b,a\}\} = [b,a])$

Grund: Eine Unmenge kann nicht Element einer Menge sein. Abhängig von der Art, wie $\{a\}$ definiert ist, gilt daher entweder $\forall \rm{UMg}(a): \{a\} = \mathcal{V}$ oder $\forall \rm{UMg}(a): \{a\} = \emptyset$.

Fazit: Im Falle eines klassenbasierten Axiomen-Systems sollte man eine Klassenpaar-Definition an Stelle einer Mengenpaar-Definition verwenden.