Menge (Mengenlehre): Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 12. September 2011, 11:37 Uhr
Ursprüngliche Definition nach Cantor (1895)[1]
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung $ M $ von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten $ m $ unserer Anschauung und unseres Denkens (welche Elemente von $ M $ genannt werden) zu einem Ganzen.
Bemerkung
Diese Definition führt zu einer Antinomie, d.h. auf ein logisches Paradoxon, das erstmalls von Bertrand Russell beschrieben wurde: die Russellsche Antinomie.
Definition gemäß der Klassentheorie
Eine Menge ist eine spezielle Klasse: Jede Klasse, die Element einer beliebigen Klasse ist, wird als Menge bezeichnet. (Klassen, die kein Element einer anderen Klasse sind, heißen Unmengen.)
Bemerkungen
Klasse und Menge
Der Begriff Klasse ersetzt im Wesentlichen den Cantorschen Begriff der Menge. Klassen fassen „Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens“ zu einer Einheit zusammen. Die Definition des Begriffes Klasse unterscheidet sich allerdings in zwei wesentlichen Punkten von Cantors Definition der Menge:
- Klassen fassen nicht mehr beliebige „Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens“ zusammen, sondern nur noch solche, die keine Unmengen sind.
- Klassen werden formal gar nicht definiert. Es werden nur deren Eigenschaften axiomatisch beschrieben.
ad 1) Die Unterscheidung zwischen Mengen und Unmengen in der Klassentheorie wurde eingeführt, um die Russellsche Antinomie zu beheben (siehe dort).
ad 2) Die axiomatische Definition von Objekten ist in der Mathematik weit verbreitet. Zum Beispiel werden geometrische Objekte wie Punkte, Geraden etc. meist auf diese Weise eingeführt.
Weitere Zusammenfassungen von Objekten
Mengen sind nicht die einzige Möglichkeit, „Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens“ zu einer Einheit zusammenzufassen.
Die Definition von Cantor ist hinsichtlich des Aufbaus von Mengen etwas unpräzise. Für Klassen gelten jedoch folgenden Eigenschaften:
- Zwei Klassen, die dieselben Elemente enthalten, werden als gelich bezeichnet und behandelt, unabhängig davon, wie oft eine Klasse ein Element enthält. Anschaulich bedeutet das, das eine Klasse jedes Element höchstens einmal enthält.
- Die Element-Beziehung legt keine Reihenfolge der Elemente fest.
Andere Arten von „Objekt-Zusammenfassungen“ berücksichtigen die Anzahl und/oder die Reihenfolge der Elemente:
- Listen (Reihenfolge der Elemente liegt fest; Element können mehrfach vorkommen)
- Felder (Reihenfolge und Anzahl der Elemente liegt fest; Elemente können mehrfach vorkommen)
- Multimengen (Reihenfolge der Elemente ist undefiniert; Elemente können mehrfach vorkommen)
- assoziative Felder (jedes Element hat einen eigenen Bezeichner; Elemente können mehrfach vorkommen)
Alle diese Arten von Containern werden vor Allem im Programmiersprachen verwendet. Aus mengentheoretischer Sicht reicht es aus, das Paarmengenaxiom zu fordern. Damit können alle diese Arten von Containern mit Hilfe von Mengen nachgebildet werden.
Quelle
- ↑ Cantor (1895): Georg Cantor; Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre; in: Mathematische Annalen; Band: 46; Nummer: 4; Seite(n): 481 – 512; Verlag: B. G. Teubner Verlag; Adresse: Leipzig; ISSN: 00255831 (Papier), 14321807 (Online); Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1895; Quellengüte: 5 (Artikel)
- Schwichtenberg (1985): Helmut Schwichtenberg; Mengenlehre; Hochschule: Ludwig-Maximilians-Universität; Adresse: München; 1985; Quellengüte: 4 (Skript)
- Schwichtenberg (2000): Helmut Schwichtenberg; Mathematische Logik; Hochschule: Ludwig-Maximilians-Universität; Adresse: München; Web-Link; 2000; Quellengüte: 5 (Skript)
