Menge (Mengenlehre): Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 10. Mai 2013, 18:43 Uhr
Definition nach Cantor (1895)[1]
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung $ M $ von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten $ m $ unserer Anschauung und unseres Denkens (welche Elemente von $ M $ genannt werden) zu einem Ganzen.
Anmerkung
Diese Definition führt, wenn man eine uneingeschränkte Mengenbildung zulässt, zu einer Antinomie, d.h. zu einem logischen Paradoxon. Dieses wurde 1902 erstmals von Bertrand Russell beschrieben und ist heute unter dem Namen Russellsche Antinomie bekannt.
Um diese Paradoxon zu vermeiden, muss man die Mengenbildung einschränken. Man muss also zusätzlich festlegen, welches die „bestimmten“ Objekte sind, die man in einer Menge zusammenfassen darf. Man beachte, dass die Einschränkung auf „bestimmte“ Objekt bereits von Cantor gefordert wurde. Nur war ihm damals vermutlich noch nicht bewusst, wie wichtig dieser einschränkende Zusatz ist.
Anschauliche Definition: Kumulative Typenstruktur
Gegeben sei ein „Vorrat“ von wohlunterscheidbaren Urelementen. Unter diesen Elementen befinde sich keine der nachfolgend definierten Mengen.
- Eine Menge der $1$. Stufe ist eine Zusammenfassung von Urelementen.
- Eine Menge der $n+1$. Stufen ist eine Zusammenfassung von Urelementen und/oder Mengen einer niedrigeren Stufe $i \le n$.
Anmerkung
Die kumulative Typenstruktur vereitelt die Russelsche Antinomie, indem sie Definition der so genannten Russell-Menge („Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten“) unterbindet.
Geschichte und weitere Varianten der hierarchischen Typenstrukturen: siehe Hauptartikel Kumulative Typenstruktur.
Formale mathematische Definitionen
In der Mathematik werden „Mengen“ selbst nicht definiert (genauso wenig wie „Punkte“, „Geraden“ etc.). Stattdessen geht man davon aus, dass es ein Universum von „Mengen“ gibt, für das bestimmte Regeln gelten. Diese Regeln werden mit Hilfe von Axiomen (Prädikatenlogik erste Stufe) formal festgelegt.
TO BE DONE
Eine Menge ist eine spezielle Klasse: Jede Klasse, die Element einer beliebigen Klasse ist, wird als Menge bezeichnet. (Klassen, die kein Element einer anderen Klasse sind, heißen Unmengen.)
Anmerkungen
Klasse und Menge
Der Begriff Klasse ersetzt im Wesentlichen den Cantorschen Begriff der Menge. Klassen fassen „Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens“ zu einer Einheit zusammen. Die Definition des Begriffes Klasse unterscheidet sich allerdings in zwei wesentlichen Punkten von Cantors Definition der Menge:
- Klassen fassen nicht mehr beliebige „Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens“ zusammen, sondern nur noch solche, die keine Unmengen sind.
- Klassen werden formal gar nicht definiert. Es werden nur deren Eigenschaften axiomatisch beschrieben.
ad 1) Die Unterscheidung zwischen Mengen und Unmengen in der Klassentheorie wurde eingeführt, um die Russellsche Antinomie zu beheben (siehe dort).
ad 2) Die axiomatische Definition von Objekten ist in der Mathematik weit verbreitet. Zum Beispiel werden geometrische Objekte wie Punkte, Geraden etc. meist auf diese Weise eingeführt.
Weitere Zusammenfassungen von Objekten
Mengen sind nicht die einzige Möglichkeit, „Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens“ zu einer Einheit zusammenzufassen.
Die Definition von Cantor ist hinsichtlich des Aufbaus von Mengen etwas unpräzise. Für Klassen gelten jedoch folgenden Eigenschaften:
- Zwei Klassen, die dieselben Elemente enthalten, werden als gelich bezeichnet und behandelt, unabhängig davon, wie oft eine Klasse ein Element enthält. Anschaulich bedeutet das, das eine Klasse jedes Element höchstens einmal enthält.
- Die Element-Beziehung legt keine Reihenfolge der Elemente fest.
Andere Arten von „Objekt-Zusammenfassungen“ berücksichtigen die Anzahl und/oder die Reihenfolge der Elemente:
- Listen (Reihenfolge der Elemente liegt fest; Element können mehrfach vorkommen)
- Felder (Reihenfolge und Anzahl der Elemente liegt fest; Elemente können mehrfach vorkommen)
- Multimengen (Reihenfolge der Elemente ist undefiniert; Elemente können mehrfach vorkommen)
- assoziative Felder (jedes Element hat einen eigenen Bezeichner; Elemente können mehrfach vorkommen)
Alle diese Arten von Containern werden vor Allem im Programmiersprachen verwendet. Aus mengentheoretischer Sicht reicht es aus, das Paarmengenaxiom zu fordern. Damit können alle diese Arten von Containern mit Hilfe von Mengen nachgebildet werden.
Quelle
- ↑ Cantor (1895): Georg Cantor; Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre; in: Mathematische Annalen; Band: 46; Nummer: 4; Seite(n): 481 – 512; Verlag: B. G. Teubner Verlag; Adresse: Leipzig; ISSN: 00255831 (Papier), 14321807 (Online); Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1895; Quellengüte: 5 (Artikel)
- Schwichtenberg (1985): Helmut Schwichtenberg; Mengenlehre; Hochschule: Ludwig-Maximilians-Universität; Adresse: München; 1985; Quellengüte: 4 (Skript)
- Schwichtenberg (2000): Helmut Schwichtenberg; Mathematische Logik; Hochschule: Ludwig-Maximilians-Universität; Adresse: München; Web-Link; 2000; Quellengüte: 5 (Skript)
