Metatheorie

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Ein formales System, wie z. B. eine mathematische Theorie oder auch eine Programmiersprache, kann weder definiert werden, noch können Eigenschaften dieses Systems gezeigt werden, wenn nicht ein formales oder auch informelles Metasystem existiert, mit dessen Hilfe dies geschieht.

Mathematiker behelfen sich, indem sie zunächst eine möglichst einfache und plausible Metatheorie festlegen, mit deren Hilfe sie ein erstes mathematisches System definieren. Sie zeigen dann Eigenschaften dieses Systems und können in einem nächsten Schritt eine komplexere Metatheorie als gegeben absehen, mit deren Hilfe sie weitere, komplexere Systeme forml definieren können. Etc. pp.

Informatiker gehen bei der Definition von Programmiersprachen und der Implementierung zugehöriger Compiler im Prinzip genauso vor. Dieses Verfahren wird Bootstraping genannt.

Definition (Duden – Das Fremdwörterbuch (2001))

Metatheorie: wissenschaftliche Theorie, die ihrerseits eine Theorie zum Gegenstand hat; vgl. Metasprache

Definition (Gulbrecht, Oberschelp, Todt (1983, S. 30))

Um unsere logischen Systeme zu entwickeln, brauchen wir eine Theorie, die wir inhaltlich bereits voraussetzen. Wir nennen diese die Metatheorie.

Die Metatheorien der Klassenlogiken

Gulbrecht, Oberschelp und Todt definieren in Ihrem fundemntalen Werk [[Gulbrecht, Oberschelp, Todt (1983)|„Klassenlogik diverse Logiken. Sie fangen an mit der Prädiaktenlogik LP und erweitern diese schrittweise zur elementaren Logik LE, zur klassentheoretischen Logik LC und schließlich zur Ausdruckslogik LA. (Darüber hinaus definieren Sie noch ein paar weitere Logiken als Spezialfälle dieser Logiken.)

Bei der Definition der zugehörigen Metasprache gehen sie zuvor beschrieben vor. Sie definieren zunächst anschaulich eine einfache Metasprache und verfeinern und formalisieren diese in zwei nachfolgenden Schritten deutlich.

Auf den Seiten 30 und 31 legen sie die Eigenschaften der Metatheorie fest, die sie für die Formalisierung der Prädikatenlogik LP benötigen. Im Prinzip fordern sie, dass es in dieser Metatheorie genügend „Objekte“ gibt, die die Elemente der Prädikatenlogik repräsentieren können. Sie fordern, dass es spezielle Objekte gibt, „Individuen“ genannt, die in „Klassen“ zu zusammengefasst werden können. Sie fordern nicht, dass Klassen Individuen sind, schließen dies aber auch nicht aus. Klassen die Individuen sind, bezeichnen sie als $Mengen$.

Für ihre Metatheorie gibt es eine Metasprache. In dieser gibt es Variablen, wie $x$ und $M$ sowie einen Elementoperator $\in$. Die Variablen können indiziert werden, d. h., die natürlichen Zahlen zusammen mit den übliche Rechenoperationen werden als gegeben angesehen. Mit $x \in M$ drücken sie aus, dass das Individuum $x$ ein „Element“ der Klasse $M$ ist. Darüber hinaus legen sie rein informell fest, was unter den Klassen $\{x_1,\ldots,x_n\}$ und $\{x|\ldots\}$ zu verstehen ist. Neben den Klassen führen sie auch „Relationen“ und „Funktionen“ informell ein, verlangen aber nicht, dass Funktionen besondere Relationen und Relationen besondere Klassen sind.

Die Bedeutung der Inklusionsbeziehung $\subseteq$, den Durchschnitt und die Vereinigung von Klassen ($\cup$ und $\cap$ sowie großen Durchschnitt $\bigcup$ und große Vereinigung $\bigcap$) setzen sie als bekannt voraus, ebenso die geordneten Paare ($< \,,\, >$) und deren Erweiterung, die Folgen ($<x_i>_{i<\ldots}$), sowie das kartesische Produkt ($\times$). Zu guter Letzt setzen sie auch noch aussagenlogische Operatoren wie $\rightarrow$ und $\leftrightarrow$ sowie den Gelcihheitsoperator $=$ als bekannt voraus. Die anschließend verwendete Metasprache ist eine Mischung aus dem zuvor informell definierten Symbolen und deutschen Sätzen.

Das heißt, um den darauffolgenden Ausführungen folgen zu können, muss man ein grundlegendes Verständnis von Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Arithmethik und Klassentheorie haben (Unterscheidung zwischen Mengen und Klassen, um Paradoxien wie die Russellsche Antinomie zu vermeiden).

Nach Einführung der elementaren Logiksprache LE, in der unter Anderem Klassen, Funktionen und Relationen formailisert wurden, weisen die Autoren auf S. 109 darauf hin, dass ab sofort die neuen Elemente, die in der formalen Sprache LE eingeführt wurden, auch Bestandteil der Metasprache sind, die allen darauffolgenden Betrachtungen zugrunde liegt.

Mit Hilfe der klassentheoretischen Logik LC, die im Anschluss an LE eingeführt wird, formalisieren Gulbrecht, Oberschelp und Todt die natürlichen Zahlen, die Ordinalzahlen und die ZF-Mengenlehre, der die Axiomen von Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel zugrunde liegen. Auf S. 201 erweitern sie Ihre Metatheorie abermals: Sie setzen ab sofort in der Metatheorie eine allgemeine ZF-Mengenlehre inhaltlich voraus. Insbesondere verwenden sie in dieser Metasprache auch die in der Objektsprache LC eingeführten Symbole. Ausdrücke, Terme und Sätze der jeweiligen Metasprache werden von Ausdrücken, Termen und Sätzen der Objektsprache unterschieden, indem Letztere ganz konsequent in Anführungszeichen $\ulcorner$ und $\urcorner$ gesetzt werden.

Siehe auch

• Metasprache
• Wikipedia: Skeptische Tropen
• Wikipedia: Münchhausen-Trilemma