Normalverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 7. September 2012, 20:33 Uhr
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Definition
Eine stetige Zufallsgröße $ \scriptstyle{X = NV(\mu,\sigma^2)} $ heißt normalverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion $ \scriptstyle{f_X = f_{NV(\mu,\sigma^2)}} $ mit
- $ \textstyle{f_X(x) = f_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) := \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}} $
beschrieben werden kann.
$ \scriptstyle{\mu} $ und $ \scriptstyle{\sigma^2} $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße
| Parameter | $ \mu \in ]-\infty,\infty[ $ $ \sigma \in ]0,\infty[ $ |
| Dichtefunktion | $ f_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) := \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) =\int_{-\infty}^x \! f_{NV(\mu,\sigma^2)}(t) \, \mathrm{d} t $ ist nicht geschlossen darstellbar |
| Modus | $ \mu $ |
| Erwartungswert | $ \mu $ |
| Median | $ \mu $ |
| Varianz | $ \sigma^2 $ |
| Standardabweichung | $ \sigma $ |
Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung
In Normalverteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $ \phi := f_{NV(0,1)} $ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass die Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilungen auch eine spezielle Dichtefunktion einer allgemeinen Normalverteilungen ist.
TO BE DONE
Umgekehrt können alle Dichtefunktionen [Normalverteilung|allgemeinen Normalverteilungen]] durch Linear-Transformationen aus der Dichtefunktionen der standardisierten Normalverteilungen erzeugt werden:
- $ f_{NV(\mu,\sigma^2)} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\, e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} = \frac{1}{\sigma}\, \phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right). $
Quellen
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
- Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
- WikipediaEn: Beta distribution
- Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung
