Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 27. Januar 2011, 17:09 Uhr
Eine stetige Zufallsgröße [math]X = D(c) := D(0,1,c)\,[/math], wobei [math]D(a,b,c)\,[/math] die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
[math]f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
beschrieben werden kann.
[math]c \in ]0,1[[/math] heißt Parameter der Verteilung [math]D(c)\,[/math].
[math]D(c)\,[/math] wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.
1 Eigenschaften der Standard-Dreiecksvertteilung
| Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung) | [math]c \in ]0,1[[/math] [math]a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c[/math] |
| Dichtefunktion | [math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math] |
| Stetigkeit | [math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\![/math] |
| Träger | [math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math] |
| Verteilungsfunktion | [math] F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math] |
| Modus | [math]\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\![/math] |
| Erwartungswert | [math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math] |
| p-Quantil | [math] F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c \lt p \le 1 \end{cases} [/math] |
| Median | [math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math] |
| Varianz | [math]\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math] |
| Standardabweichung | [math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math] |
2 Quellen
Dieser Artikel ist GlossarWiki-konform.
