Normalverteilung

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X = NV(\mu,\sigma^2) $ heißt normalverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion $ f_X = f_{NV(\mu,\sigma^2)} $ mit

$ f_X(x) = f_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) := \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $

beschrieben werden kann.

$ \mu $ und $ \sigma^2 $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße

Parameter	$ \mu \in ]-\infty,\infty[ $ $ \sigma \in ]0,\infty[ $
Dichtefunktion	$ f_X(x) =\frac {1}{{\sigma} \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $
Stetigkeit	$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Verteilungsfunktion	$ F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t $ ist nicht elementar darstellbar
Modus	$ \operatorname{md}_X = \{\mu\} $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \mu $
Median	$ F_X^{-1}(0,5) = \mu $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \sigma $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung

In Normalverteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $ \phi := f_{NV(0,1)} $ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass die Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilungen auch eine spezielle Dichtefunktion einer allgemeinen Normalverteilungen ist.

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Normalverteilungen durch Linear-Transformationen aus der Dichtefunktionen der standardisierten Normalverteilungen erzeugt werden:

$ f_{NV(\mu,\sigma^2)} = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} = \frac{1}{\sigma}\, \phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right). $

(Beweis der zweiten Aussage)

Tabellen

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Normalverteilung mit Erwartungswert μ und verschiedenen Streuungsintervallen

Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen innerhalb bzw. außerhalb der Streuintervalle $ \left[\mu-nσ, \mu+nσ\right] $

nσ	Prozent innerhalb	Prozent außerhalb	Anzahl Sechser	Münzwurf: n mal Kopf	Signifikanz
0,674 490 σ	50 %	50 %		1 Münze: 50 %
0,994 458 σ	68 %	32 %
1σ	68,27 %	31,73 %		2 Münzen: 25 %
1,281 552 σ	80 %	20 %	1 Sechser: 16,67 %	3 Münzen: 12,5 %
1,644 854 σ	90 %	10 %		4 Münzen: 6,25 %
1,959 964 σ	95 %	5 %			Medizin: signifikant
2σ	95,45 %	4,55 %	2 Sechser: 2,77 %	5 Münzen: 3,25 %
2,354 820 σ	98,17 %	1,85 %		6 Münzen: 1,56 %
2,575 829 σ	99 %	1 %	3 Sechser: 0,46 %	7 Münzen: 0,78 %	Medizin: sehr signifikant
3σ	99,73%	0,27 %		9 Münzen: 0,20 %
3,290 527 σ	99,9 %	0,1 %	4 Sechser: 0,077 %	10 Münzen: 0,10 %	Medizin: hoch signifikant
3,890 592 σ	99,99 %	0,01 %	5 Sechser: 0,013 %	13 Münzen: 0,01 %
4σ	99,993 %	0,006 %		14 Münzen: 0,006 %
4,417 173 σ	99,999 %	0,001 %	6 Sechser: 0,001 2 %	17 Münzen: 0,000 76 %
4,891 638 σ	99,999 9 %	0,000 1 %	7 Sechser: 0,000 36 %	20 Münzen: 0,000 095 %
5σ	99,999 94 %	0,000 06 %	8 Sechser: 0,000 060 %	21 Münzen: 0,000 047 %
5,326 724 σ	99,999 99 %	0,000 01 %	9 Sechser: 0,000 010 %	23 Münzen: 0,000 012 %	Lotto: 6 Richtige
5,730 729 σ	99,999 999 %	0,000 001 %	10 Sechser: 0,000 001 6 %	26 Münzen: 0,000 001 5 %	Lotto: 6 Richtige + Superzahl
6σ	99,999 999 8 %	0,000 000 2 %	11 Sechser: 0,000 000 28 %	29 Münzen: 0,000 000 19 %	Physik: Higgs-Boson (5,8σ)
6,109 410 σ	99,999 999 9 %	0,000 000 1 %	12 Sechser: 0,000 000 046 %	30 Münzen: 0,000 000 093 %
6,466 951 σ	99,999 999 99 %	0,000 000 01 %	13 Sechser: 0,000 000 007 7 %	33 Münzen: 0,000 000 012 %
6,806 502 σ	99,999 999 999 %	0,000 000 001 %	14 Sechser: 0,000 000 001 3 %	37 Münzen: 0,000 000 000 73 %
7σ	99,999 999 999 7 %	0,000 000 000 3 %	15 Sechser: 0,000 000 000 21 %	39 Münzen: 0,000 000 000 18 %

Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen außerhalb der Streuintervalle $ \left[\mu-nσ, \mu+nσ\right] $ in Prozent, Parts per Billion (ppb, zu Deutsch „Teile pro Milliarde“) und als Bruchteil

nσ	Prozent innerhalb	Prozent außerhalb	ppb außerhalb	Bruchteil außerhalb
0,674 490 σ	50 %	50 %	500.000.000	1 / 2
0,994 458 σ	68 %	32 %	320.000.000	1 / 3,125
1σ	68,268 949 2 %	31,731 050 8 %	317.310.508	1 / 3,151 4872
1,281 552 σ	80 %	20 %	200.000.000	1 / 5
1,644 854 σ	90 %	10 %	100.000.000	1 / 10
1,959 964 σ	95 %	5 %	50.000.000	1 / 20
2σ	95,449 973 6 %	4,550 026 4 %	45.500.264	1 / 21,977 895
2,354 820 σ	98,146 832 2 %	1,853 167 8 %	18.531.678	1 / 54
2,575 829 σ	99 %	1 %	10.000.000	1 / 100
3σ	99,730 020 4 %	0,269 979 6 %	2.699.796	1 / 370,398
3,290 527 σ	99,9 %	0,1 %	1.000.000	1 / 1.000
3,890 592 σ	99,99 %	0,01 %	100.000	1 / 10.000
4σ	99,993 666 %	0,006 334 %	63.340	1 / 15.787
4,417 173 σ	99,999 %	0,001 %	10.000	1 / 100.000
4,891 638 σ	99,9999 %	0,0001 %	1.000	1 / 1.000.000
5σ	99,999 942 669 7 %	0,000 057 330 3 %	573,330 3	1 / 1.744.278
5,326 724 σ	99,999 99 %	0,000 01 %	100	1 / 10.000.000
5,730 729 σ	99,999 999 %	0,000 001 %	10	1 / 100.000.000
6σ	99,999 999 802 7 %	0,000 000 197 3 %	1,973	1 / 506.797.346
6,109 410 σ	99,999 999 9 %	0,000 000 1 %	1	1 / 1.000.000.000
6,466 951 σ	99,999 999 99 %	0,000 000 01 %	0,1	1 / 10.000.000.000
6,806 502 σ	99,999 999 999 %	0,000 000 001 %	0,01	1 / 100.000.000.000
7σ	99,999 999 999 744 %	0,000 000 000 256 %	0,002 56	1 / 390.682.215.445

Quellen

4. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
5. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
6. WikipediaEn: Normal distribution
7. Statwiki HU Berlin: Normalverteilung
8. Berechnung der Normalverteilung

Siehe auch

1. Brighton Webs Ltd.: Normal Distribution
2. Dreiecksverteilung
3. Beta-Verteilung