Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz): Unterschied zwischen den Versionen
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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# <math>x < c \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}</math><br /> | # <math>\textstyle{x < c \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}}</math><br /> | ||
# <math>c < x \ \Leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}</math><br /> | # <math>\textstyle{c < x \ \Leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}}</math><br /> | ||
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Version vom 9. September 2012, 16:30 Uhr
Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen:
| Korrektheit: 5 (vollständig überprüft) |
Umfang: 5 (wesentliche Fakten vorhanden) |
Quellenangaben: 5 (vollständig vorhanden) |
Quellenarten: 5 (ausgezeichnet) |
Konformität: 5 (ausgezeichnet) |
Voraussetzung
Es seien $ a,b \in \mathbb{R}\! $ zwei relle Zahlen mit $ a < b\! $ (d.h. $ a\! $ und $ b\! $ definieren ein endliches Intervall) sowie $ c, x \in \mathbb{R}\! $.
Satz
- $ \textstyle{a \le x \le b \ \Leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1} $
- $ \textstyle{x \in\, [a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]} $
- $ \textstyle{x \in\,\, ]a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]} $
- $ \textstyle{x \in\, [a,b[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[} $
- $ \textstyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[} $
- $ \textstyle{x \in\, [a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]} $
- $ \textstyle{x < a \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0} $
- $ \textstyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[} $
- $ \textstyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]} $
- $ \textstyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[} $
- $ \textstyle{b < x \ \Leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}} $
- $ \textstyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[} $
- $ \textstyle{x \in\, [b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[} $
- $ \textstyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[} $
- $ \textstyle{x < c \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}} $
- $ \textstyle{c < x \ \Leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}} $
Beweis der ersten Aussage
| $ a \le x \le b $ | $ |\quad -a $ | |
| $ \Leftrightarrow $ | $ 0 \le x-a \le b-a $ | $ |\quad /(b-a) $ |
| $ \Leftrightarrow $ | $ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ | (da $ b-a > 0 $) |
Die restlichen Aussagen beweist man analog.
Quellen
- Autor des Beweises: W. Kowarschick
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
