Axiom:Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen

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{{TBD}}
==Definitionen==
<div class="formula">Für alle Elemente $a$, $b$, $c$, $d$ gilt, dass die Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ genau dann [[Gleichheit|gleich]] sind,</div>
===Voraussetzung===
<div class="formula">wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ einander gleich sind.</div>
Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger [[Operator]], der „Elemente“/„Objekte“ aud „Elemente“/„Objekte“ abbildet.
Falls dieser Operator das [[Axiom:Paraxiom|Paaraxiom]] erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ [[geordnetes Paar|geordnete Paare]].
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache|Metametasprache]]===
Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache]]===
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $, wobei $[\cdot,\cdot]$</div>
===Paaraxiom: Definition in [[Metasprache]]===
<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>


<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $</div>
==Geschichte==
Das Paaraxiom wurde 1897 von [[Guiseppe Peano]] eingeführt.<ref name="Peano (1897)">{{Quelle|Peano (1897)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>


<div class="formula">$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $</div>
==Eigenschaften von geordneten Paaren==
Bei [[Paarmenge]]n spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:
<div class="formula">$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$</div>
 
Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:
<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$</div>


von [[Giuseppe Peano]] definiert<ref name="Peano (1897)">{{Quelle|Peano (1897)}}, S. 6, Nr. 70 und Nr. 71</ref>
===[[Satz:Existenz_und_Eindeutigkeit_der_Projektionsoperatoren_von_geordneten_Paaren|Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren]]===
Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$, die die zuvor definierten Eigenschaften
haben.


==Bedeutung des Paaraxioms==
====Anmerkung====
Geordnete Paare sind im Gegensatz zu Mengen tatsächlich geordnet. Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle
Insbesondere gilt damit für jedes Paar $p$ die Beziehung $p = [\pi_1(p),\pi_2(p)]$.
($\{a,b\} = \{b,a\}$).
Bei Paaren kommt es dagegen aufgrund des Paaraxioms auf die Reihenfolge an:
<div class="formula">$[a,b] = [b,a]$ genau dann, wenn $a = b$</div>


Die Rückrichtung des Paaraxiom („Aus der Gleichheit von $a$ und $c$ sowie von $b$ und $d$ folgt die Gleichheit der beiden Paare $[a,b]$ und $[c,d]$“)
===[[Satz:Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom|Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare]]===
ist trivialerweise immer erfüllt, sofern man die Gleichheit mit Hilfe des „[[Prinzip von der Identität des Ununterscheidbaren|Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren]]“ definiert.


Interessant ist daher vor allem die Aussage, dass aus der Gleichheit zweier Paare die Gleichheit der zugehörigen Elemente folgt.
Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die zuvor definierten Eigenschaften
Dies hat zwei nicht nur zur Folge, dass – wie gesehen – die Elemente einer Paarmenge geordnet sind, sondern im 
erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.
Umkehrschluss ([[logische Kontraposition]]) auch, dass sich zwei Paare unterscheiden, sobald sie sich in mindestens
Element unterscheiden:


<div class="formula">Aus $a\not=c$ '''oder''' $b\not=d$ folgt $[a,b] \not= [c,d]$</div>
====Anmerkung====
Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.


==Quellen==
==Quellen==

Version vom 22. September 2014, 11:58 Uhr

Definitionen

Voraussetzung

Es sei $[\cdot,\cdot]$ ein zweistelliger Operator, der „Elemente“/„Objekte“ aud „Elemente“/„Objekte“ abbildet. Falls dieser Operator das Paaraxiom erfüllt, heißen Elemente der Art $[a,b]$ geordnete Paare.

Paaraxiom: Definition in Metametasprache

Zwei Paare $[a,b]$ und $[c,d]$ sind genau dann gleich, wenn sowohl $a$ und $c$ als auch $b$ und $d$ gleich sind.

Paaraxiom: Definition in Metasprache

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $, wobei $[\cdot,\cdot]$

Paaraxiom: Definition in Metasprache

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \,\wedge\,b=d $

Geschichte

Das Paaraxiom wurde 1897 von Guiseppe Peano eingeführt.[1]

Eigenschaften von geordneten Paaren

Bei Paarmengen spielt die Reihenfolge der Elemente keine Rolle:

$\bigwedge a,b: \{a,b\} = \{b,a\}$

Im Gegensatz dazu sind geordnete Paare – wegen des Paaraxioms – tatsächlich geordnet:

$\bigwedge a,b: [a,b] = [b,a] \Leftrightarrow a = b$

Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren

Wenn das Paaraxiom erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$, die die zuvor definierten Eigenschaften haben.

Anmerkung

Insbesondere gilt damit für jedes Paar $p$ die Beziehung $p = [\pi_1(p),\pi_2(p)]$.

Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare

Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die zuvor definierten Eigenschaften erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom erfüllt.

Anmerkung

Dieser Satz ist die Umkehrung des vorangegangen Satzes. Außerdem folgt aus dem vorangegangen Satz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.

Quellen

  1. ↑ Peano (1897b): Giuseppe Peano; Formulaire de Mathématiques; Band: 2; Verlag: Bocca frères und Ch. Clausen; Web-Link; 1897; Quellengüte: 5 (Buch), S. 6, Nr. 70 und Nr. 71

Siehe auch

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