Kollision zweier Kugeln (2D)

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Grundannahmen

Es sei ein zweidimensionales Ball-Objekt b gegeben, das folgende Attribute habe:

• x, y: Position (Einheit: Pixel)
• vx, vy: Geschwindigkeit in $x$- und $y$-Richtung (Einheit: Pixel/s)
• r: Radius (Einheit: Pixel)
• m: Masse (die Einheit ist irrelevant, sie muss nur für alle Bälle dieselbe sein)

Die Frequenz der Neuberechnung der Positionen aller im System vorhandener Bälle sei f, d. h., die Positionen werden f mal pro Sekunde neuberechnet. Wenn es zu keiner Kollision kommt, wird der Ball um vx/f bzw. vy/f Pixel in $x$- bzw. $y$-Richtung verschoben:

  b.x += b.vx/f;
  b.y += b.vy/f;

Je höher die Frequent f ist, desto genauer wird die Bewegungsbahn der Bälle simuliert.

Im Folgenden seinen $s_1 = (s_{1x},s_{1y})$ und $s_2 = (s_{2x},s_{2y})$ die Startpositionen zweier Balle und $v_1 = (v_{1x},v_{1y})$ und $v_2 = (v_{2x},v_{2y})$ die zugehörigen Geschwindigkeitsvektoren.

Es gilt also, dass sich die beiden Bälle zu Zeitpunkt $t_0$ an den Positionen $s_1$ und $s_2$ befinden. Eine Sekunde später, d. h. zum Zeitpunkt $t_0+1$ befinden sich sich an den Positionen $s_1+v_1$ und $s_2+v_2$, sofern sie nicht kollidieren. Wenn die Neuberechnung mit einer Frequenz $f$ Hz erfolgt, d. h., wenn die Periodendauer $t = 1/f$ beträgt, dann befinden sich die Bälle nach der Berechnung an den Positionen $s_1+tv_1$ und $s_2+tv_2$, sofern sie nicht kollidieren.

In Folgenden wird stets der Fall $t=1$ angenommen. Alle Aussagen, die für einen beliebigen Geschwindigkeitsvektor $v$ gelten, gelten dann natürlich auch für $v' := tv$.

A-posteriori-Kollisionserkennung von zwei Kugeln

  function collisionBallBall(p_b1, p_b2)
  {
    // l_n: Normalenvektor (Verbindung zwischen den beiden Kugelnn)
    var l_nx = p_b2.x() - p_b1.x();
    var l_ny = p_b2.y() - p_b1.y();
  
    // Abstand der beiden Kugeln
    var l_dist = Math.sqrt( l_nx * l_nx + l_ny * l_ny );
  
    // Die Kugeln dürfen sich nicht an derselben Stelle befinden,
    // weil sie sonst nicht entlang der nicht-existenten Normalen
    // auseinandergezogen werden können.
    // Dieser Fall sollte nur sehr selten eintreten (z.B. wenn eine
    // neue Kugel genau an der Stelle einer existenten Kugel erstellt wird).
    if (l_dist < EPSILON)
    {
      p_b2.x = p_b2.x+ p_b2.r;
      l_nx += p_b2.r;
      l_dist = Math.sqrt( l_nx * l_nx + l_ny * l_ny );
    };
    
    // Kugeln kollidieren, wenn der Abstand kleiner gleich der Summe
    // der Radien beider Kugeln ist.
    if (l_dist <= p_b1.getR() + p_b2.getR())
    {
      // Normalenvektor wird normalisiert: |l_n| = 1
      l_nx /= l_dist;
      l_ny /= l_dist;
        
      //Tangentialvektor (senkrecht zu Normalenvektor, zwischen beiden Kugeln)
      var l_tx = l_ny;
      var l_ty = -l_nx;
        
      // Summe der Massen beider Kugeln
      var l_sm1m2 = p_b1.m + p_b2.m;
   
      // Überlappung der beiden Kugeln
      var l_overlap = ( p_b1.r+ p_b2.r ) - l_dist;
   
      // Verschieben der beiden Kugeln entlang der Normalen,
      // so dass sie sich nicht mehr überlappen!
      p_b1.x = p_b1.x - l_nx * l_overlap * (p_b2.m/l_sm1m2) * (1+EPSILON));
      p_b1.y = p_b1.y - l_ny * l_overlap * (p_b2.m/l_sm1m2) * (1+EPSILON));
      p_b2.x = p_b2.x + l_nx * l_overlap * (p_b1.m/l_sm1m2) * (1+EPSILON));
      p_b2.y = p_b2.y + l_ny * l_overlap * (p_b1.m/l_sm1m2) * (1+EPSILON));
  
      // Zerlegung der Geschwindigkeitsvektoren in Normalen- und 
      // Tangentialanteil: v=sn*n+st*t, wobei 
      // v Vektor, n Normalenvektor, t Tagentialvektor und
      // sn, st zwei skalare Werte sind.
      // Es gilt: v*n = sn*(n*n)+st*(t*n) = sn, da t*n=0 und n*n = 1
      // Es gilt: v*t = sn*(n*t)+st*(t*t) = st, da t*n=0 und t*t = 1
      // Also ist: sn = v*n und st=v*t

      // Ball 1: Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors in n- und t-Anteil
      var l_sn1 = l_nx * p_b1.vx + l_ny * p_b1.vy;
      var l_st1 = l_tx * p_b1.vx + l_ty * p_b1.vy;

      var l_n1x = l_nx * l_sn1; // Normalenvektor-Anteil von p_b1.vx
      var l_n1y = l_ny * l_sn1;
       
      var l_t1x = l_tx * l_st1; // Tangentialvektor-Anteil von p_b1.vx
      var l_t1y = l_ty * l_st1;
        
      // Ball 2: Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors in n- und t-Anteil
      var l_sn2 = l_nx * p_b2.vx + l_ny * p_b2.vy;
      var l_st2 = l_tx * p_b2.vx + l_ty * p_b2.vy;
            
      var l_n2x = l_nx * l_sn2; // Normalenvektor-Anteil von p_b2.vx
      var l_n2y = l_ny * l_sn2;
          
      var l_t2x = l_tx * l_st2; // Tangentialvektor-Anteil von p_b2.vx
      var l_t2y = l_ty * l_st2;
             
      // Der Impulserhaltungssatz
      //   m1*v1 + m2*v2 = m1*v1' + m2*v2' 
      //   (wobei m1, m2 = Massen der Körper 
      //    und v1, v2, v1', v2' die Geschwindigkeiten)
      // und der Energieerhaltsungssatz
      //   0,5*m1*v1² + 0,5*m2*v2² = 0,5*m1*v1'² + 0,5*m2*v2'²
      // führen nach einfachen mathematischen Umformungen zu
      // folgenden Beziehungen (für den eindimensionalen Fall):
      //   v1' = 2*(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2) - v1
      //   v2' = 2*(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2) - v2
      //   2*(m1*v1+m2*v2)/(m1+m2) ist die Geschwindigkeit des 
      //                           gemeinsamen Schwerpunktes.
      // Im zweidimensionalen Fall gilt, dass die Kollision entlang
      // der Normalen erfolgt. Die tangentialen Anteile der der 
      // Bewegungsrichtungen werden unverändert übernommen.
        
      var l_vspx = 2*(p_b1.m*l_n1x+p_b2.m*l_n2x)/l_sm1m2;
      var l_vspy = 2*(p_b1.m*l_n1y+p_b2.m*l_n2y)/l_sm1m2;
        
      p_b1.vx = l_vspx - l_n1x + l_t1x;
      p_b1.vy = l_vspy - l_n1y + l_t1y;
      p_b2.vy = l_vspx - l_n2x + l_t2x;
      p_b2.vy = l_vspy - l_n2y + l_t2y;
        
      //// Alternative Berechnung:
      // Differenz der Massen beide Kugeln
      // var l_dm2m1 = p_b2.m - p_b1.m;
      // p_b1.vx = (l_n2x*p_b2.m*2-l_n1x*l_dm2m1)/l_sm1m2 + l_t1x;
      // p_b1.vy = (l_n2y*p_b2.m*2-l_n1y*l_dm2m1)/l_sm1m2 + l_t1y;
      // p_b2.vx = (l_n1x*p_b1.m*2+l_n2x*l_dm2m1)/l_sm1m2 + l_t2x;
      // p_b2.vy =(l_n1y*p_b1.m*2+l_n2y*l_dm2m1)/l_sm1m2 + l_t2y;
  }
}

A-priori-Kollisionserkennung von zwei Kugeln

Kollision zweier Kugeln

Der Tunnel-Effekt

Quellen

1. Kowarschick (WebProg): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Web-Programmierung“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2024; Quellengüte: 3 (Vorlesung)