Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz): Unterschied zwischen den Versionen
Kowa (Diskussion | Beiträge) Keine Bearbeitungszusammenfassung |
Kowa (Diskussion | Beiträge) |
||
| Zeile 11: | Zeile 11: | ||
Dann gilt: | Dann gilt: | ||
(1) <math>\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}</math><br /> | |||
(1a) <math>\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}</math><br /> | |||
(1b) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}</math><br /> | |||
(1c) <math>\displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[}</math><br /> | |||
(1d) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[}</math> | |||
(2) <math>\displaystyle{x < a \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0}</math><br /> | |||
(2a) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[}</math><br /> | |||
(2b) <math>\displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]}</math> | |||
(3) <math>\displaystyle{b < x \ \leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}}</math><br /> | |||
(3a) <math>\displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[}</math><br /> | |||
(3b) <math>\displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[}</math><br /> | |||
(4) <math>\displaystyle{x < c \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}}</math> | |||
(5) <math>\displaystyle{c < x \ \leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}}</math> | |||
==Beweis der ersten Aussage== | ==Beweis der ersten Aussage== | ||
Version vom 14. April 2019, 13:48 Uhr
Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen:
| Korrektheit: 5 (vollständig überprüft) |
Umfang: 5 (wesentliche Fakten vorhanden) |
Quellenangaben: 5 (vollständig vorhanden) |
Quellenarten: 5 (ausgezeichnet) |
Konformität: 5 (ausgezeichnet) |
Satz
Es seien $a,b \in \mathbb R$ zwei relle Zahlen mit $a < b$ (d.h. $a$ und $b$ definieren ein endliches Intervall) sowie $c, x \in \mathbb{R}$.
Dann gilt:
(1) $ \displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1} $
(1a) $ \displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]} $
(1b) $ \displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]} $
(1c) $ \displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[} $
(1d) $ \displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[} $
(2) $ \displaystyle{x < a \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0} $
(2a) $ \displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[} $
(2b) $ \displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]} $
(3) $ \displaystyle{b < x \ \leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}} $
(3a) $ \displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[} $
(3b) $ \displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[} $
(4) $ \displaystyle{x < c \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}} $
(5) $ \displaystyle{c < x \ \leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}} $
Beweis der ersten Aussage
$ \displaystyle{a \le x \le b} $ $ \displaystyle{\quad\quad|\quad -a} $ $ \displaystyle{\leftrightarrow} $ $ \displaystyle{0 \le x-a \le b-a} $ $ \displaystyle{\quad\quad|\quad /(b-a)} $ $ \displaystyle{\leftrightarrow} $ $ \displaystyle{0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1} $ $ \quad\quad $(da $ \displaystyle{b-a > 0} $)
Die restlichen Aussagen beweist man analog.
Quellen
- Autor des Beweises: Wolfgang Kowarschick
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
