Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)

Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen:

Korrektheit: 5 (vollständig überprüft)

Umfang: 5 (wesentliche Fakten vorhanden)

Quellenangaben: 5 (vollständig vorhanden)

Quellenarten: 5 (ausgezeichnet)

Konformität: 5 (ausgezeichnet)

Voraussetzung

Es seien $ a,b \in \mathbb{R} $ zwei relle Zahlen mit $ a < b $ (d.h. $ a $ und $ b $ definieren ein endliches Intervall) sowie $ c, x \in \mathbb{R} $.

Satz

1. $ \textstyle{a \le x \le b \ \Leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1} $
    
   • $ \textstyle{x \in\, [a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]} $
      
   • $ \textstyle{x \in\,\, ]a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]} $
      
   • $ \textstyle{x \in\, [a,b[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[} $
      
   • $ \textstyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[} $
      
2. $ \textstyle{x < a \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0} $
    
   • $ \textstyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[} $
      
   • $ \textstyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]} $
      
3. $ \textstyle{b < x \ \Leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}} $
    
   • $ \textstyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[} $
      
   • $ \textstyle{x \in\, [b, \infty[ \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[} $
      
4. $ \textstyle{x < c \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}} $
    
5. $ \textstyle{c < x \ \Leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}} $
    

Beweis der ersten Aussage

	$ \textstyle{a \le x \le b} $	$ \textstyle{\quad\quad|\quad -a} $
$ \textstyle{\Leftrightarrow} $	$ \textstyle{0 \le x-a \le b-a} $	$ \textstyle{\quad\quad|\quad /(b-a)} $
$ \textstyle{\Leftrightarrow} $	$ \textstyle{>0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1} $	$ \quad\quad $(da $ \textstyle{b-a > 0} $)

Die restlichen Aussagen beweist man analog.

Quellen

1. Autor des Beweises: W. Kowarschick
2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)