Aussage (Logik)
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Definition (Aristoteles, 384-322 v. Chr.)
Πρότασις μὲν οὖν ἐστὶ λόγος καταφατικὸς ἢ ἀποφατικός τινος κατά τινος·[1]
(Protasis men oun esti logos kataphatikos ē apophatikos tinos kata tinos.)
Ein Satz ist nun eine Aussage, welche etwas von einem Anderen bejaht oder verneint[2]
A premiss then is a sentence affirming or denying one thing of another.[3]
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist zu sagen, ob es wahr sei oder falsch.[4]
Definition (Brockhaus)[5]
allg.: Bericht, zu einem Tatbestand abgegebene Erklärung; auch: geistiger Gehalt, z.B. eines Kustwerkes
Logik: Die Formulierung eines Sachverhalts in Form eines Behauptungssatzes; bei Aristoteles Apophansis (Satz, der wahr oder falsch sein kann) genannt.
Definition (Mathematische Logik)
Der Begriff Aussage wird in mehreren Teilgebieten der Mathematischen Logik formalisiert:
Anstelle von Aussagen spricht man hier allerdings i. Allg. von (aussagelogischen bzw. prädikatenlogischen) Ausdrücken oder auch Formeln, um den formalen Charater dieser Definitionen zu betonen.
Anmerkungen
Sowohl die Definition von Aristoteles, als auch die Definition von Brockhaus definieren den Begriff „Aussage“ (im Sinne der Logik) nicht wirklich.
Bei Aristoteles ist der Begriff „sprachliches Gebilde“ („Satz“) ziemlich vage und auch der Wahrheitsbegriff ist undefiniert. Beides wird als bekannt vorausgesetzt und ist zumindest in irgendeinem Sinn „einfacher“ als der Begriff „Aussage“. Allerdings sind beide Begriffe zu unspezifisch, als dass sie den Begriff „Ausdruck“ wirklich stringent definieren würden.
Die Definition von Brockhaus ist noch unbefriedigender, da der Begriff „Behauptungssatz“ genausowenig definiert ist, wie „Aussage“ selbst.
Aus der Definition von Aristoteles lassen sich allerdings einige wichtige Eigenschaften von Aussagen ablesen [6]:
- Man benötigt einen Wahrheitsbegriff.
- Man benötigt „Sätze“ bzw. „sprachliche Gebilde“.
- Nur bestimmte „Sätze“ bzw. „sprachliche Gebilde“, nämlich die „Aussagen“, können als „wahr“ oder „falsch“ angesehen werden.
Wahrheitsbegriff [6]
Aus der Definition von Aristotiles lassen sich zwei Schlüsse über den Wahrheitsbegriff ziehen:
- Tertium no datur (ein Drittes ist nicht gegeben): Eine Aussage ist wahr oder falsch, nichts sonst.
- Ausgeschlossener Widerspruch: Eine Aussage ist nicht gleichzeitig wahr und falsch.
Die erste Aussage ist nicht so evident, wie es den Anschein hat. Im Alltag begegnen uns oft Halbwahrheiten oder Flaschaussagen, die zumindest gut begründet sind. Und auch die Mathematik befasst sich mit mehrwertigen Logiken, bei denen mehr als zwei Wahrheitswerte zugelassen werden, wie z.B. „wahr“, „falsch“ und „unbekannt“ (vgl. SQL).
Die zweite Folgerung steht nur implizit in der Definition von Aritsoteles: Man muss „oder“ als „entweder — oder“ interpretieren.
Sprachliche Gebilde, Satz [6]
Ein „sprachliches Gebilde“ (Satz) ist ein
- Gebilde der gesprochenen Sprache (z.B. Lautfolgen)
- Gebilde der geschriebenen Sprache (z.B. Zeichenfolgen, Texte, mathematische Formeln, Programme, Notenstücke)
Viele sprachlichen Gebilde sind sinnlos, wie z.B. „sdf§$%s12fn sd“ oder ein Programm mit Syntaxfehlern.
Aber auch sinnvolle Gebilde, d.h. Gebilde, denen ein Inhalt (eine Semantik) zugeordnet werden kann, sind nicht immer Aussagen:
- Komm her! (Aufforderung, Befehl)
- a²+b³ (Term)
- Nachts ist es kälter als draußen. (Korrekt gebildeter Satz ohne sinnvollen Inhalt)
- Diser Saz enthält drei Fehler. (Korrekt gebildeter Satz, der weder wahr noch falsch ist.)
- Jede gerade Zahl größer als 2 ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar.
- William Herbert Wallace ist nicht der Mörder von Julia Wallace[7][8]
- a²+b³ = c²
Die ersten beiden Gebilde sind schon aus rein syntaktischen Gründen keine Aussagen: Ein Ausrufezeichen steht nie nach einer Aussage, ein mathematischer Term ohne Prädikat ist nicht wahr oder falsch. Typische Prädikate sind die Gleichheit (=) oder Größenbeziehungen (<, >).
Das dritte Gebilde ist aus semantischen Gründen keine Aussage. Man muss den Inhalt/die Bedeutung des Satzes verstehen, um entscheiden zu können, dass es sich hierbei um keine Aussage handelt.
Das vierte Gebilde sieht aus wie eine Aussage, hat auch einen Inhalt, ist aber trotzdem keine Aussage, da der Satz weder wahr noch falsch ist: Er enhält nur zwei (Rechtschreib)-Fehler, also ist er falsch. Da dies der dritte Fehler ist, ist er doch richtig. Und damit ist er wieder falsch. Etc. pp. Das Problem dieses Satzes ist, dass die Sprachebenen vermischt werden: Er spricht über Sätze und zwar über sich selbst. Eine formale Definition des Aussagebegriffs muss daher zwischen Objektsprache, Meta-Sprache, Meta-Meta-Sprache etc. sauber unterscheiden.
Das fünfte und das sechte Gebilde sind klare Aussagen, die entweder wahr oder falsch sind. Sie genügen also der Definition von Aristotiles. Allerdings wissen wir bis heute nicht, ob sie wahr oder falsch sind. Dass der Wahrheitswert einer Aussage effektiv ermittelt werden kann, wurde von Aristotiles in seiner Definition jedoch auch nicht gefordert.
Das siebte Gebilde ist eine Aussage, wenn wir wissen, für welche Werte die Variablen a, b und c stehen. Solange diese Werte jedoch nicht festgelegt worden sind (z.B. durch die Voraussetzung, dass a und b die Längen der Katheten eines bestimmten rechtwinkligen Dreiecks und c die Länge der Hypothenuse dieses Dreickes sind), handelt es sich nicht um eine Aussage, sondern nur um ein „Aussagenschema“. Erst wenn man die „freien Variablen“ a, b und c an speziell Werte „bindet“, entsteht eine Aussage. So ist diese Ausage beispielsweise für a=1, b=2 und c=3 falsch, aber für a=3, b=4 und c=5 richtig.
Bei jedem sprachlichen Gebilde kann man drei Aspekte unterscheiden:
- Syntax (Form, Aufbau des Gebildes)
- Semantik (Inhalt, Bedeutung des Gebildes)
- Pragmatik (Bedeutungsschwere des Inhalts)
Beispiel
- Das Lagerfeuer brennt.
- Das Haus brennt.
Syntaktisch und semantisch sind beide Aussagen gleichartig, aber hinsichtlich der Pragmatik unterscheiden sie sich:
- Syntax (Form): Artikel, Subjekt, Prädikat
- Semantik (Bedeutung): Aussagesatz; ein Gegenstand wird dem chemischen Prozess der Redoxreaktion (unter Abgabe von Wärme und Licht) unterzogen.
- Pragmatik (Wichtigkeit, Bedeutungsschwere): Im ersten Fall: „Prima, wir können uns wärmen!“, im zweiten Fall: „Katastophe! Wir müssen die Feuerwehr rufen!“ (sofern die Aussagen wahr sind!).
In der mathematischen Logik werden i. Allg. nur Syntax und Semantik mit formalen Mitteln behandelt, die Pragmatik entzieht sich dagegen mathematischen Mitteln weitestgehend.
Quellen
- ↑ http://www.hs-augsburg.de/~harsch/graeca/Chronologia/S_ante04/Aristoteles/ari_a111.html , Analytica priora (erste Analytik) des Aristoteles
- ↑ Analytica priora (erste Analytik) des Aristoteles, deutsche Übersetzung von Kirchmann, 1877
- ↑ Analytica priora (erste Analytik) des Aristoteles, englische Übersetzung
- ↑ Güntzer, Schmidt, Kempf, Möller (1989)
- ↑ Brockhaus, Neunzehnte Auflage, Zweiter Band, APU-BEC, F.A. Brockhaus, Mannheim, 1987
- ↑ 6,0 6,1 6,2 vgl. Güntzer, Schmidt, Kempf, Möller (1989)
- ↑ vgl. Schmidt (1966)
- ↑ vgl. Wikipedia (en): William Herbert Wallace
