GlossarWiki:Objektsprache

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In diesem Wiki werden unterschiedliche formale mathematische Systeme beschrieben: Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Klassenlogik, relationale Argebra etc. Nachfolgend werden die wichtigsten Symbole beschrieben, die in diesem Wiki zu Einsatz kommen.

Der zweiwertigen Logik liegen in diesem Wiki die beiden Wahrheitswerte T für TRUE/„wahr“ und F für FALSE/„falsch“ zugrunde.

Die Formeln der Objekt- un der Metaspache unterscheiden sich nicht. Falls es nötig sein sollte, zwischen beiden Sprachen zu unterscheiden, werden Ausdrücke und Formeln in Anlenhnung an Glubrecht et al. (1983)[1] in Klammern [math]\ulcorner[/math] und [math]\urcorner[/math] gesetzt.

1 Junktoren

Es gibt zwei nullstellige (konstante), zwei einstellige und 10 zweistellige Junktoren:

Namen Symbol Wahrheitswerte
Verum [math]\top[/math] T
Falsum [math]\bot[/math] F
Namen Symbol Wahrheitswerte
[math]a[/math]
T
[math]a[/math]
F
Identität [math]{\rm{id}}(a)[/math] T F
Negation [math]{\lnot}a[/math] F T
Namen Symbol
(Präfix)
Symbol
(Infix)
Wahrheitswerte
[math]a[/math] [math]b[/math]
T T
[math]a[/math] [math]b[/math]
T F
[math]a[/math] [math]b[/math]
F T
[math]a[/math] [math]b[/math]
F F
Sheffer-Strich, NAND [math]\mid(a, b)[/math] [math]a \mid b[/math] F T T T
Konjunktion, AND [math]\wedge(a, b)[/math] [math]a \wedge b[/math] T F F F
Disjunktion, Adjunktion, OR [math]\vee(a, b)[/math] [math]a \vee b[/math] T W W F
Peirce-Funktion, NOR [math]\overline\vee(a, b)[/math] [math]a \overline\vee b[/math] F F F T
Subjunktion, Implikation [math]\rightarrow(a, b)[/math] [math]a \rightarrow b[/math] T F T T
Postsektion, Nur a [math]\not\rightarrow(a, b)[/math] [math]a \not\rightarrow b[/math] F T F F
Konversion [math]\leftarrow(a, b)[/math] [math]a \leftarrow b[/math] T T F T
Präsektion, Nur b [math]\not\leftarrow(a, b)[/math] [math]a \not\leftarrow b[/math] F F T F
Bijunktion [math]\leftrightarrow(a, b)[/math] [math]a \leftrightarrow b[/math] T F F T
Kontravalenz, XOR [math]\not\leftrightarrow(a, b)[/math] [math]a \not\leftrightarrow b[/math] F T T F

Die zweistelligen Junktoren werden normalerweise in Infixnotation ([math]a \wedge b[/math]) und nicht in Präfixnotation ([math]\wedge(a,b)[/math]) geschrieben. Wenn dabei auf Klammern verzichtet wird, gilt die Rangfolge gemäß obiger Tabelle: [math]\wedge[/math] bindet enger als [math]\vee[/math] etc. Das heißt, $a \vee b \wedge c$ ist eine Abkürzung für $(a \vee (b \wedge c))$.

Die Präfixnotation kann für mehr als zwei Elemente verallgemeinert werden:

[math]\wedge(a,b,c) := \wedge(\wedge(a,b), c)[/math], [math]\wedge(a,b,c,d) := \wedge(\wedge(\wedge(a,b), c),d)[/math] etc.

Analog gilt dies auch für alle anderen zweistelligen Junktoren.

Für die Konjunktion und die Disjunktion gibt es noch jeweils zwei weitere Abkürzungen:

[math]\wedge() := \top[/math]
[math]\wedge(a) := a[/math] d.h. [math]a = \wedge(a) = \wedge(\wedge(), a)[/math], [math]\wedge(a, b) =\wedge(\wedge(\wedge(), a), b)[/math], [math]\wedge(a, b, c) = \wedge(\wedge( \wedge(\wedge(), a), b), c)[/math] etc.
[math]\vee() := \bot[/math]
[math]\vee(a) := a[/math] d.h. [math]a = \vee(a) = \vee(\vee(), a)[/math], [math]\vee(a, b) =\vee(\vee(\vee(), a), b)[/math], [math]\vee(a, b. c) =\vee(\vee(\vee(\vee(), a), b), c)[/math] etc.

2 Quellen

  1. Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983): Jürgen-Michael Glubrecht, Arnold Oberschelp und Günter Todt; Klassenlogik; Verlag: Bibliographisches Institut; Adresse: Mannheim, Wien, Zürich; ISBN: 3-411-01634-5, 978-3411016341; 1983; Quellengüte: 5 (Buch)