Junktor

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(ausgezeichnet)

Die in diesem Wiki verwendeten Junktoren sind in GlossarWiki:Objektsprache beschrieben.

Alle nachfolgenden Definitionen sind im Falle von mehrwertigen Aussagelogiken – auch falls dies von den zitierten Autoren nicht erwähnt wird – ebenfalls gültig, d.h. im Falle von Aussagelogiken, denen mehr als die beiden Wahrheitswerte wahr und falsch zu Grunde liegen. Beispielsweise wurde für SQL eine dreiwertige Logik spezifiziert mit den Wahrheitswerten wahr, falsch und unbekannt.

Definition des Begriffs „Junktor“ (Brockhaus (1990)[1])

Logik: eine log. Partikel, mit deren Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Beispiele sind die Abjunktion, die Adjunktion, die Bijunktion, die Konjunktion, die Subbjunktion und die Negation. Alle zweistelligen J. lassen sich auf den Sheffer-Strich zurückführen.

Definition des Begriffs „Junktor“ (Bronstein, Semendjajew (1979)[2])

Sind $A_1$, $A_2$ Aussagen, so lassen sich durch sprachliche Verbindungen daraus neue Aussagen gewinnen: „nicht $A_1$“, „$A_1$ und $A_2$“, „$A_1$ oder $A_2$“, „wenn $A_1$, so $A_2$“, „$A_1$ genau dann, wenn $A_2$“, deren Wahrheitswert nur von den Wahrheitswerten der in ihnen vorkommenden Teilaussagen abhängt (Extensionalitätsprinzip der Aussagenlogik).

Definition des Begriffs „Aussagefunktor“ (Menne (1973)[3])

Albert Menne nennt Funktoren, „die Aussagen umformen oder verbinden zu einer neuen Aussage“ Aussagefunktoren. Er unterscheidet zwischen monadischen (einstelligen), dyadischen (zweistelligen) und triadischen (dreistelligen) Aussagefunktoren.

Anmerkung

Menne weißt daraufhin, dass dyadische Aussagefunktoren von Paul Lorenzen[4] Junktoren genannt werden. In der nachfolgenden Definition von Kowarschick wird dagegen nicht zwischen Aussagefunktoren und Junktoren unterschieden.

Definition des Begriffs „Junktor“ (Metametasprache „Deutsch“, Kowarschick)

Unter einem Junktor (Aussageverknüpfung, Aussagefunktor) versteht man einen Funktor mit dessen Hilfe endlich viele Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft werden. Der Wahrheitswert der neuen Aussage hängt nur von den Wahrheitswerten der zugehörigen Teilaussagen ab.

Ein Junktor heißt $n$-stellig, wenn er genau $n$ Aussagen zu einer neuen Aussage verknüpft.

Die Semantik eines Junktors wird mit Hilfe einer sogenannten Wahrheitstafel festgelegt. Eine Wahrheitstafel definiert für jede mögliche Kombination von Wahrheitswerten den Ergebnis-Wahrheitswert des Junktors.

Anmerkung

In den nachfolgenden Abschnitten Junktoren der zweiwertigen Logik und Junktoren der dreiwertigen Logik wird die Semantik mehrerer wichtiger Junktoren mit Hilfe von Wahrheitstafeln definiert.

Definition des Begriffs „Junktor“ (Objektsprache „Mengenlehre“, Kowarschick)

Es sei $W$ eine Menge von Wahrheitswerten, d.h., $W$ sei endlich und habe mindenstens zwei Elemente:

$2 \le |W| < \omega$

Es sei überdies $n$ eine natürliche Zahl:

$n \in \omega$

Eine Funktion $j$ mit Definitionsbereich $W^n$ und Wertebereich $W$, d.h. eine Funktion, die einem $n$-Tupel von Wahrheitswerten einen neuen Wahrheitswert zuweist, wird $n$-stelliger Junktor genannt:

${\rm{Junktor}}(W,j,n) \;:\leftrightarrow\; 2 \le |W| < \omega \,\wedge\, n\in\omega \,\wedge\, j: W^n \rightarrow W$

Die Menge $\mathbb{J_{W,n}} := \{j|j: W^n \rightarrow W\}$ heißt Menge aller $n$-stelligen Junktoren über die Wahrheitswerte $W$.

Die Menge $\mathbb{J_n} := \mathbb{J_{\{0,1\},n}}$ heißt Menge aller $n$-stelligen Junktoren. Die zugehörigen Wahrheitswerte $0$ (für False) und $1$ (für True) sind die Wahrheitswerte der klassischen zweiwertigen Logik.

Anmerkungen

Bei $\mathbb{J_{W,n}}$ handelt es sich tatsächlich um eine Menge und nicht um eine Unmenge, da $W$ und $n$ Mengen sind.

TO BE DONE

Entsprechenden Satz in Wiki einfügen und zitieren.

Die beiden Definitionen von Kowarschick unterscheiden sich hinsichtlich der Sprachebene. Zum einen wurden Junktoren mit Hilfe der Metametasprache „Deutsch“ definiert und zum anderen mit Hilfe der Objektsprache der „Mengenlehre“. Der Gund ist, dass es bei der Definition der Logik und der Definition der Mengenlehre ein klassisches Henne-Ei-Problem gibt (vgl. Metatheorie). Aus diesem Grund wurden zwei Definitionen angegeben: Ein informelle, die zur Formalisierung der Mathematik verwendet werden kann, und eine formale, die beispielsweise zum Beweis von Eigenschaften von Juktoren mit Hilfe der Mengenlehre eingesetzt werden kann.

Eigenschaften

Satz: Anzahl der Junktoren

Für eine $m$-wertige Aussagelogik gibt es $m^{m^n} = m^{(m^n)}$ $n$-stellige Junktoren:

$|W| = m < \omega,\, n \in \omega \;\vDash\; |\mathbb{J}_{W,n}| = m^{(m^n)}$

Anmerkung

Die Aussage stimmt auch für eine Menge mit nur einem ($m=1$) oder gar keinem ($m=0$) Wahrheitswert . Allerdings gibt es für derartige Wahrheitswertmengen keine praktische Anwendung in der Logik. (Dem Fall $m=0$ liegt folgende Festlegung zugrunde: $0^n = 0$ für $n \in \omega$, d.h. $m^{(m^n)} = 0^{(0^n)} = 0^0 = 0$.)

Beweis

Die Menge $\{f|f: A \rightarrow B\} $ aller Funktionen $f: A \rightarrow B$ hat die Mächtigkeit $|B|^{\,|A| }$(Ebbinghaus, S. 80, Satz 3.8, (iii)).

Die Menge $\mathbb{J}_{W,n} = \{j|j: W^n \rightarrow W\} $ aller $n$-stelligen Junktoren hat also die Mächtigkeit $|W|^{\,|W^n| }\rm{.}$

Da laut Voraussetzung $|W| = m$ und damit $|W^n| = m^n$ (Ebbinghaus, S. 80, Satz 3.8, (ii)),
ist die Aussage bewiesen: $|\mathbb{J}_{W,n}| = m^{(m^n)}$

Junktoren der zweiwertigen Logik

Der zweiwertigen Logik liegen in diesem Wiki die beiden Wahrheitswerte T für TRUE/„wahr“ und F für FALSE/„falsch“ zugrunde. In den nachfolgenden drei Abschnitten werden Junktoren für die in diesem Wiki verwendete Metasprache definiert. Im daran anschließenden Abschnitt Mengentheoretische Definition von Junktoren werden dann dieselben Junktoren für die in diesem Wiki verwendete Objektsprache definiert.

In der Literatur werden teilweise andere Symbole verwendet als in diesem Wiki oder hier verwendete Symbole anders eingesetzt.

Nullstellige Junktoren

Es gibt insgesamt zwei ($2^{2^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren.

Namen Symbol Wahrheitswerte
Verum $\top$ T
Falsum $\bot$ F

Die Begriffe „Verum“ und „Falsum“ finden sich bereits bei Peano (1989)[5]. Er verwendet dafür die Symbole $\rm{V}$ und $\Lambda$, wobei $\Lambda$ bei ihm außerdem die leere Menge bezeichnet. Er erwähnt außerdem, dass $\rm{V}$ die Allklasse wäre, von ihm aber nicht in diesem Sinne benutzt wird:

[Signo $\rm{V}$, quod classem ex omnibus induviduis constitutam, de quibus queastio est, indicat, non utimur].[5]

Einstellige Junktoren

Es gibt insgesamt vier ($2^{2^{1}}$) einstellige Junktoren. Zwei dieser Junktoren bilden die beiden nullstelligen Junktoren nach und erhalten daher keine eigenen Symbole.

Namen Symbol Wahrheitswerte
$ a $
T		 $ a $
F
Identität $ {\rm{id}}(a) $ T F
Negation $ {\neg}a $ F T
Namen Wahrheitswerte
$ a $
T		 $ a $
F
Verum T T
Falsum F F

Zweistellige Junktoren

Es gibt insgesamt sechszehn ($2^{2^{2}}$) zweistellige Junktoren. Sechs dieser Junktoren bilden die nullstelligen bzw. einstelligen Junktoren nach und erhalten daher (zumindest in diesem Wiki) keine eigenen Symbole.

Namen Symbol Wahrheitswerte
$ a $ $ b $
T T
$ a $ $ b $
T F
$ a $ $ b $
F T
$ a $ $ b $
F F
Konjunktion, AND $ a \wedge b $ T F F F
Disjunktion, Adjunktion, OR $ a \vee b $ T T T F
Subjunktion, Implikation $ a \rightarrow b $ T F T T
Konversion $ a \leftarrow b $ T T F T
Bijunktion $ a \leftrightarrow b $ T F F T
Sheffer-Strich, NAND $ a \mid b $ F T T T
Peirce-Funktion, NOR $ a \overline\vee b $, $ a ↓ b $ F F F T
Kontravalenz, XOR $ a \not\leftrightarrow b $ F T T F
Postsektion, Nur a $ a \not\rightarrow b $ F T F F
Präsektion, Nur b $ a \not\leftarrow b $ F F T F
Namen Wahrheitswerte
$ a $ $ b $
T T
$ a $ $ b $
T F
$ a $ $ b $
F T
$ a $ $ b $
F F
Verum T T T T
Falsum F F F F
Identität von $ a $ T T F F
Identität von $ b $ T F T F
Negation von $ a $ F F T T
Negation von $ b $ F T F T

Mengentheoretische Definition von Junktoren

Bei den Elementen der Menge $\mathbb{J_n}$ der $n$-stelligen Junktoren handelt es sich um Funktionen. Die wichtigsten dieser Elemente erhalten eigenständige Namen, wobei die Namensgebung analog zu den zuvor definierten Wertetafeln erfolgt.

$ \mathbb{J_0} $:
$ \begin{array}[t]{lclr} \top & := & \{(1)\} & ({\rm{Verum}}) \\ \bot & := & \{(0)\} & ({\rm{Falsum}})\\ \end{array} $


$ \mathbb{J_1} $:
$ \begin{array}[t]{lclr} \rm{id} & := & \{(1,1), (0,0)\} & ({\rm{Identität}}) \\ \lnot & := & \{(1,0), (0,1)\} & ({\rm{Negation}}) \\ \end{array} $


$ \mathbb{J_2} $:
$ \begin{array}[t]{lclr} \wedge & := & \{(1,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,0)\} & (\text{Konjunktion}, AND) \\ \vee & := & \{(1,1,1), (1,0,1), (0,1,1), (0,0,0)\} & (\text{Disjunktion}, OR) \\ \rightarrow & := & \{(1,1,1), (1,0,1), (0,1,0), (0,0,1)\} & (\text{Implikation}) \\ \leftarrow & := & \{(1,1,1), (1,0,0), (0,1,1), (0,0,1)\} & (\text{Konversion}) \\ \leftrightarrow & := & \{(1,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\} & (\text{Bijunktion}) \\ \mid & := & \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)\} & (\text{Shefferstrich, NAND}) \\ \overline\vee & := & \{(1,1,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\} & (\text{Peirce-Funktion, NOR}) \\ \not\leftrightarrow & := & \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (0,0,0)\} & (\text{Kontravalenz, XOR}) \\ \not\rightarrow & := & \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,0,0)\} & (\text{Postsektion, Nur a}) \\ \not\leftarrow & := & \{(1,1,0), (1,0,0), (0,1,1), (0,0,0)\} & (\text{Präsektion, Nur b}) \end{array} $

Die zweistelligen Funktionen werden normalerweise in Infixnotation ($ a \wedge b $) und nicht in Präfixnotation ($ \wedge(a,b) $) geschrieben.

Junktoren der dreiwertigen Logik

Der dreiwertigen Logik liegen in diesem Wiki die drei Wahrheitswerte T für TRUE, „wahr“, U für UNKNOWN, „unbekannt“ oder auch „undefiniert“ und F für FALSE, „falsch“ zugrunde. Bei den dreistelligen Junktoren werden für die Objekt- und die Metasprache dieselben Symbole verwendet, da die dreiwertige Logik in diesem Wiki nicht zur Formalisierung der Mathematik eingesetzt werden soll. Es besteht also keine Notwendigkeit zwischen diesen beiden Ebenen zu unterscheiden.

Nullstellige Junktoren

Es gibt insgesamt drei ($3^{3^{0}}$) nullstellige (konstante) Junktoren:

Namen Symbol Wahrheitswerte
Verum, TRUE $ \top $ T
Incertum, Ingnotum, UNKNOWN $ U $ U
Falsum, FALSE $ \bot $ F

Die Bezeichnungen „Incertum“ und „Ingnotum“ für den Wahrheitswert „U“ wurden von Wolfgang Kowarschick eingeführt. Wenn „U“ für „unbestimmt“ steht, ist „Incertum“ passender. Manchmal steht „U“ aber auch für „unbekannt“. In diesem Fall ist die Bezeichnung „Ingnotum“ treffender.

Einstellige Junktoren

Es gibt insgesamt 27 ($3^{3^{1}}$) einstellige Junktoren. Allein für die Negation und die Identität gibt es jeweils schon drei mögliche Varianten:

Namen Symbole Wahrheitswerte identisch zu
$ a $
T		 $ a $
U		 $ a $
F
starke Negation $ \lnot a $, NOT a F U T
schwache Negation, ist nicht wahr $ {\sim}a $ F T T $ {-}{-}\lnot a $, $ {\lnot}{-}\lnot a $
$ -a $ F F T $ {\sim}{\sim}\lnot a $, $ {\lnot}{\sim}\lnot a $
Namen Symbole Wahrheitswerte identisch zu
$ a $
T		 $ a $
U		 $ a $
F
Identität $ {\rm{id}}(a) $ T U F $ \lnot\lnot a $
$ {\rm{idT}}(a) $ T T F $ {\sim}\lnot a $, $ \lnot{-}a $, $ {-}\lnot a $, $ {-}{-}a $
$ {\rm{idF}}(a) $ T F F $ \lnot{\sim}a $, $ {\sim}{\sim}a $, $ {-}\lnot a $, $ {-}{\sim}a $

Mit Hilfe der starken und der schwachen Negation, lassen sich alle sechs der obigen Junktoren nachbilden. In den meisten Fällen reicht die einfache oder die doppelte Negation, nur für $-a$ braucht man die dreifache Negation. (Die dreifache Negation ist auch im Bayerischen weit verbreitet: „I dring nia koa Wossa ned.“ :-) )

Darüber hinaus gibt es sechs einstellige Junktoren, um zu überprüfen, ob eine Aussage einen bestimmten Wert hat bzw. nicht hat:

Namen Symbole Wahrheitswerte identisch zu
$ a $
T		 $ a $
U		 $ a $
F
ist wahr, is true ${\rm{isT}}(a)$, a IS TRUE T F F $\rm{idF}(a)$
ist unbekannt, ist unbestimmt, is unknown ${\rm{isU}}(a)$, a IS UNKNOWN F T F
ist falsch, is false ${\rm{isF}}(a)$, a IS FALSE F F T $-a$
Namen Symbole Wahrheitswerte identisch zu
$ a $
T		 $ a $
U		 $ a $
F
ist nicht wahr, is not true ${\rm{isNT}}(a)$, a IS NOT TRUE F T T ${\sim}a$
ist bekannt, is known ${\rm{isNU}}(a)$, ${\rm{isK}}(a)$, a IS NOT UNKNOWN T F T $\lnot{\rm{isU}}(a)$, ${\sim}{\rm{isU}}(a)$, $-{\rm{isU}}(a)$
ist nicht falsch, is not false ${\rm{isNF}}(a)$, a IS NOT FALSE T T F ${\rm{idT}}(a)$

Vier dieser Junktoren stimmen mit zuvor definierten Identitäts- und Negationsjunktoren überein. Die Junktoren $\rm{isU}$ und $\rm{isK}$ sind dagegen neu. Das heißt, sie können nicht mit den zuvor definierten Junktoren nachgebildet werden.

Daraus folgt, dass beispielsweise die starke Negation ($\lnot$), die schwache Negation ($\sim$; = Test auf Unwahrheit $\rm{isNT}$) und der Test auf Unbestimmtheit ($\rm{isU}$) ausreichen, um alle acht der bislang definierten einstelligen Junktoren nachzubilden.

Gemäß Standard unterstütz SQL dreiwertige Logik. Folgende sieben der zuvor acht definierten einstelligen Junktoren gibt es (nur der Identitätsjunktor fehlt):[6]

  • NOT
  • IS TRUE, IS NOT TRUE
  • IS UNKNOWN, IS NOT UNKNOWN
  • IS FALSE, IS NOT FALSE

Zweistellige Junktoren

Es gibt insgesamt 19683 ($3^{3^{2}}$) zweistellige Junktoren. Das heißt, eine vollständige Analyse aller denkbaren Junktoren ist nicht nur sehr zeitauswändig, sondern auch noch ziemlich sinnleer.

Daher sollen nur ein paar sinnvolle Erweiterungsmöglihkeiten der wichtigsten zweistelligen Junktoren betrachtet werden. In SQL werden beispielsweise drei der folgende vier Erweiterungen der zweiwertigen Konjunktion, der zweiwertigen Disjunktion, der zweiwertigen Implikation und der zweiwertigen Bijunktion eingesetzt:[6]

$a \wedge b$, a AND b
$b$

$a$
 T U F
T T U F
U U U F
F F F F
 
$a \vee b$, a OR b
$b$

$a$
 T U F
T T T T
U T U U
F T U F
 
$a \rightarrow b$
$b$

$a$
 T U F
T T U F
U T U U
F T T T
 
$a \leftrightarrow b$, a = b
$b$

$a$
 T U F
T T U F
U U U U
F F U T

Diesen Wahrheitstafeln, die auf Kleene[7] zurückgehen, liegen folgende Überlegungen zugrunde:

  • Die Konjunktion zweier Wahrheistwerte ist nur dann wahr, wenn beide Werte wahr sind. Ist nur einer der beiden Werte falsch, ist die Konjunktion falsch, unabhängig vom anderen Wert. In allen anderen Fällen ist der Wahrheitswert unbekannt.
  • Die Konjunktion zweier Wahrheistwerte ist nur dann falsch, wenn beide Werte falsch sind. Ist nur einer der beiden Werte wahr, ist die Disjunktion wahr, unabhängig vom anderen Wert. In allen anderen Fällen ist der Wahrheitswert unbekannt.
  • Die Implikation wird mit Hilfe der Wahrheittafeln von starker Negation und Disjunktion gebildet: $a \rightarrow b$ wird – analog wie im Falle der zweiwertigen Logik – als „Kurzschreibweise“ für $\lnot a \,\vee\, b$ festgelegt: Wenn $b$ wahr oder $a$ falsch ist, ist die Aussage „aus $a$ folgt $b$“ wahr. Wenn $b$ falsch und $a$ wahr ist, ist die Aussage „aus $a$ folgt $b$“ falsch. In allen anderen Fällen ist das Ergebnis der Aussage unbekannt.
  • Die Bijunktion wird mit Hilfe der Wahrheisttafel der Implikation und Konjunktion gebildet: $a \leftrightarrow b$ wird als äquivalent zu $a \rightarrow b \,\wedge\, b \rightarrow a$ angesehen: Wenn von $a$ und/oder $b$ der Wahrheitswert unbekannt ist, ist die Äquivalenz der Wahrheitswerte unbekannt. Wenn $a$ und $b$ beide wahr oder beide falsch sind, sind sie äquivalent. Anderenfalls sind sie nicht äquivalent.

SQL unterstützt drei dieser vier Junktoren: Konjunktion (AND), Disjunktion (AND) und Äquivalenz (=). Die Implikation gibt es nicht, kann aber mit Hilfe der Negation (NOT) und der Disjunktion (OR) nachgebildet werden.

Mengentheoretische Definition von Junktoren

Die dreiwertigen Junktoren können genauso wie die zweiwertigen Junktoren auch mengentheoretisch, d.h. als Funktionen definiert werden. Als Wahrheitswerte werden die Werte $1$ für TRUE, $0$ für FALSE und $-1$ für UNKNOWN verwendet: $W =\{-1,0,1\}$:

$ \mathbb{J_{W,0}} $:
$ \begin{array}[t]{lclr} \top & := & \{(1)\} & (\text{Verum}) \\ \bot & := & \{(0)\} & (\text{Falsum})\\ U & := & \{(-1)\} & (\text{Incertum, Ingnotum})\\ \end{array} $


$ \mathbb{J_{W,1}} $:
$ \begin{array}[t]{lclr} \lnot & := & \{(1,0),(0,1),(-1,-1)\} & (\text{starkes Nicht}) \\ {\sim} & := & \{(1,0),(0,1),(-1, 1)\} & (\text{schwaches Nicht})\\ - & := & \{(1,0),(0,1),(-1, 0)\} & \\ \end{array} $

Et cetera.

Quellen

  1. ↑ Brockhaus (1990, IT-KIP): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 11, IT-KIP; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1111-1; 1990; Quellengüte: 5 (Buch)
  2. ↑ Bronstein, Semendjajew (1979): I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew; Taschenbuch der Mathematik; Hrsg.: G. Grosche und V. Ziegler; Auflage: 19; Verlag: BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft und Nauka-Verlag; Adresse: Leipzig, Moskau; ISBN: 3871444928; 1979; Quellengüte: 5 (Buch), Seite 588
  3. ↑ Menne (1973): Albert Menne; Einführung in die Logik; Reihe: Uni-Taschenbücher; Nummer: 34; Auflage: 2; Verlag: Francke Verlag; Adresse: München; ISBN: 3-7720-0005-3; 1973; Quellengüte: 5 (Buch), S. 33, S. 35
  4. ↑ Lorenzen (1958): Paul Lorenzen; Formale Logik; Verlag: Walter de Gruyter GmbH; Adresse: Berlin; 1958; Quellengüte: 5 (Buch)
  5. ↑ 5,0 5,1 Peano (1889): Giuseppe Peano; Arithmetices principia: nova methodo; Verlag: Fratres Bocca; Web-Link; 1889; Quellengüte: 5 (Buch), S. VIII
  6. ↑ 6,0 6,1 Gulutzan, Pelzer (1999): Peter Gulutzan und Trudy Pelzer; SQL-99 complete, Really – An Example-Based Reference Manual of the New Standard; Verlag: R&D Books; ISBN: 0-87930-568-1; 1999; Quellengüte: 5 (Buch)
  7. ↑ Kleene (1938): Stephen Cole Kleene; On Notation for Ordinal Numbers; in: Journal Symbolic Logic; Nummer: 3; Seite(n): 150-155; Web-Link; 1938; Quellengüte: 5 (Artikel)
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