Identitätsprinzip

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Das Identitätsprinzip oder die Leibnizsche Ersetzbarkeit sagt aus, dass in Aussagen ein Wert stets durch einen dazu identischen Wert ersetzt werden kann, ohne dass sich der Wahrheitswert der Aussage ändert..

Definition (Leibniz)

Definitio1. Eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate.

Übersetzung von Künne (2010):
Dieselben sind, wovon eines für das andere unbeschadet der Wahrheit eingesetzt werden kann.

Anmerkung
Diese Definition wird von Frege in den Grundlagen der Arithmetik, §65 zitiert.

Künne merkt in einer Fußnote an, dass Frege (1892) diesen Satz ebenfalls zitiert, allerdings in der Form „Eadem sunt, quae sibi mutuo substitui possunt, salva veritate.“. Das Zitat stamme zwar von Leibniz, sei aber merkwürdigerweise bislang in keiner Literatur, die Frege zur Verfügung stand, nachgewiesen worden.

Axiom (Leibniz)

In einem späteren Werk formuliert Leibniz das Identitätsprinzip als Axiom:
Axiome. Mettant des choses égales à la place, l’égalité demeure.

Übersetzung von Frege:
Axiom: Wenn man Gleiches an die Stelle setzt, bleibt die Gleichung bestehen.

Übersetzung von Schaarschmidt
Axiom. Wenn man Gleiches substituirt, bleibt Gleiches.

Anmerkung
Leibniz beweis mit diesem Axiom, dass 2+2 gleich 4 ist:

Ce n’est pas une vérité tout à fait immédiate que deux et deux sont quatre, supposé que quatre signifie trois et un.
On peut donc la démontrer, et voici comment:

Définitions:
I) Deux est un et un.
2) Trois est deux et un.
3) Quatre est trois et un.

Axiome. Mettant des choses égales à la place, l’égalité demeure.

Démonstration:
2 et 2 est 2 et 1 et 1 (par la déf. I)....…. 2 + 2
2 et 1 et 1 est 3 et 1 (par la déf. 2)…....... (2 + 1) + 1
3 et 1 est 4 (par la déf. 3) ……………… (3 + 1)

Done (par l'Axiome)

Übersetzung von Schaarschmidt:
Es ist nicht eine ganz unmittelbare Wahrheit, dass zwei und zwei vier sind, vorausgesetzt, dass vier soviel bedeutet, als drei und eins. Man kann den Satz also beweisen und zwar folgendermassen:
Definitionen.
1) Zwei ist Eins und Eins,
2) Drei ist Zwei und Eins,
3) Vier ist Drei und Eins.

Axiom. Wenn man Gleiches substituirt, bleibt Gleiches.

Beweis.
2 und 2 ist 2 und 1 und 1 (nach Def. 1),
2 und 1 und 1 ist 3 und 1 (nach Def. 2),
3 und 1 ist 4 (nach Def. 3).

Anmerkung
Man müsste auch noch das Assoziativgesetz axiomatisch voraussetzen.

Siehe auch

Wikipedia:Identität_(Logik)